Determine a posição relativa entre as retas: r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 k \\\ y=2+k \\\ z=3-3 k\end{array}, k \in \mathbb{R}\right. e s: X=(3,1,6)+\lambda(1,2,3), \lambda \in \mathbb{R}.
Escolha uma opção:
◯ a. Reversas
◯ b. Somente Concorrentes
◯ c. Perpendiculares
◯ d. Coincidentes
◯ e. Paralelas Distintas
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a posição relativa entre as retas r e s e escolher a opção correta entre: (a) Reversas, (b) Somente Concorrentes, (c) Perpendiculares, (d) Coincidentes, (e) Paralelas Distintas.\n
Informações dadas (copiei do enunciado):
Entendendo a forma paramétrica: uma reta em \mathbb{R}^3 escrita como um ponto inicial mais parâmetro vezes vetor diretor tem a forma
\text{reta: } P_0 + t\mathbf{v},
onde P_0 é um ponto da reta e \mathbf{v} é o vetor diretor. Do enunciado extraio para r:
ponto A=(1,2,3) (é o valor das coordenadas quando k=0);
vetor diretor de r: \mathbf{v}_r=(2,1,-3) (coeficientes de k em cada coordenada).
Explicação curta: para ver o ponto, ponha o parâmetro igual a zero; para ver o vetor diretor, olha os coeficientes que multiplicam o parâmetro.
Passo 3
Fazendo o mesmo para s:
ponto B=(3,1,6) (dado explictamente);
vetor diretor de s: \mathbf{v}_s=(1,2,3) (o vetor multiplicador de \lambda).
Passo 4
Testar paralelismo: duas retas são paralelas se os vetores diretores são proporcionais, isto é, existe \mu\in\mathbb{R} tal que \mathbf{v}_r=\mu\mathbf{v}_s. Verifico se
(2,1,-3)=\mu(1,2,3).
Comparando coordenadas: pela primeira coordenada \mu=2. Pela segunda coordenada deveria valer 1=\mu\cdot 2, ou seja 1=4, absurdo. Logo não existe \mu que satisfaça todas as coordenadas. Conclusão: as retas NÃO são paralelas.
Passo 5
Como não são paralelas, restam duas possibilidades: ou se intersectam (concorrentes) ou são reversas (skew). Para testar interseção, igualamos coordenadas buscando k,\lambda\) tais que os pontos sejam iguais:
\[\begin{cases} 1+2k=3+\lambda\\[4pt] 2+k=1+2\lambda\\[4pt] 3-3k=6+3\lambda \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
Da primeira equação isolamos \lambda\]:
\[\lambda = 1+2k-3 = 2k-2.\]
- Substituímos na segunda:
\[2+k = 1 + 2(2k-2) = 1 + 4k -4 = 4k-3.\]
Isolando \(k:
Como -2\neq 10, a terceira equação não é satisfeita — ou seja, não existe par (k,\lambda) que faça as três coordenadas coincidirem. Conclusão: as retas não se intersectam.]
Passo 6
Verificação rápida de perpendicularidade (apenas por completude): duas retas são perpendiculares se seus vetores diretores têm produto escalar zero. Calculo