Determine a posição relativa entre as retas: r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 k \\\ y=2+k \\\ z=3-3 k\end{array}, k \in \mathbb{R}\right. e
s: X=(3,1,6)+\lambda(1,2,3), \lambda \in \mathbb{R}.
Escolha uma opção:
◯ a. Reversas
◯ b. Somente Concorrentes
◯ c. Perpendiculares
◯ d. Coincidentes
◯ e. Paralelas Distintas

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a posição relativa entre as retas r e s e escolher a opção correta entre: (a) Reversas, (b) Somente Concorrentes, (c) Perpendiculares, (d) Coincidentes, (e) Paralelas Distintas.\n
Informações dadas (copiei do enunciado):
r:\begin{cases} x=1+2k\\[4pt] y=2+k\\[4pt] z=3-3k \end{cases},\quad k\in\mathbb{R}
s:\;X=(3,1,6)+\lambda(1,2,3),\quad \lambda\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Entendendo a forma paramétrica: uma reta em \mathbb{R}^3 escrita como um ponto inicial mais parâmetro vezes vetor diretor tem a forma
\text{reta: } P_0 + t\mathbf{v},
onde P_0 é um ponto da reta e \mathbf{v} é o vetor diretor. Do enunciado extraio para r:
  • ponto A=(1,2,3) (é o valor das coordenadas quando k=0);
  • vetor diretor de r: \mathbf{v}_r=(2,1,-3) (coeficientes de k em cada coordenada).
Explicação curta: para ver o ponto, ponha o parâmetro igual a zero; para ver o vetor diretor, olha os coeficientes que multiplicam o parâmetro.

Passo 3

Fazendo o mesmo para s:
  • ponto B=(3,1,6) (dado explictamente);
  • vetor diretor de s: \mathbf{v}_s=(1,2,3) (o vetor multiplicador de \lambda).

Passo 4

Testar paralelismo: duas retas são paralelas se os vetores diretores são proporcionais, isto é, existe \mu\in\mathbb{R} tal que \mathbf{v}_r=\mu\mathbf{v}_s. Verifico se
(2,1,-3)=\mu(1,2,3).
Comparando coordenadas: pela primeira coordenada \mu=2. Pela segunda coordenada deveria valer 1=\mu\cdot 2, ou seja 1=4, absurdo. Logo não existe \mu que satisfaça todas as coordenadas. Conclusão: as retas NÃO são paralelas.

Passo 5

Como não são paralelas, restam duas possibilidades: ou se intersectam (concorrentes) ou são reversas (skew). Para testar interseção, igualamos coordenadas buscando k,\lambda\) tais que os pontos sejam iguais: \[\begin{cases} 1+2k=3+\lambda\\[4pt] 2+k=1+2\lambda\\[4pt] 3-3k=6+3\lambda \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  • Da primeira equação isolamos \lambda\]: \[\lambda = 1+2k-3 = 2k-2.\] - Substituímos na segunda: \[2+k = 1 + 2(2k-2) = 1 + 4k -4 = 4k-3.\] Isolando \(k:
2+k = 4k-3 \;\Rightarrow\; 5 = 3k \;\Rightarrow\; k=\frac{5}{3}.
  • Com k=\dfrac{5}{3} obtemos \lambda:
\lambda = 2\cdot\frac{5}{3}-2 = \frac{10}{3}-\frac{6}{3}=\frac{4}{3}.
  • Agora verificamos a terceira equação com esses valores:
\text{LHS}=3-3k = 3-3\cdot\frac{5}{3}=3-5=-2.
\text{RHS}=6+3\lambda = 6+3\cdot\frac{4}{3}=6+4=10.
Como -2\neq 10, a terceira equação não é satisfeita — ou seja, não existe par (k,\lambda) que faça as três coordenadas coincidirem. Conclusão: as retas não se intersectam.]

Passo 6

Verificação rápida de perpendicularidade (apenas por completude): duas retas são perpendiculares se seus vetores diretores têm produto escalar zero. Calculo
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s = (2,1,-3)\cdot(1,2,3)=2\cdot1+1\cdot2+(-3)\cdot3=2+2-9=-5\neq 0.
Portanto não são perpendiculares.

Passo 7

Resumo das conclusões:
  • vetores diretores não são proporcionais → não paralelas;
  • não existe ponto em comum → não concorrentes;
  • produto escalar dos diretores não é zero → não perpendiculares;
  • logo a única possibilidade restante é que as retas sejam reversas (skew): retas que não se intersectam e não são paralelas.

Resposta

(a) Reversas

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