Dados os vetores
e
, calcular:
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede para calcular o produto escalar
Informações relevantes fornecidas:
,
.
Pergunta: encontrar numericamente .
Pergunta: encontrar numericamente
Passo 2
Relembrando o que é produto escalar e propriedades que vamos usar (explicação didática e passo-a-passo):
O produto escalar entre dois vetores em , digamos
e
, é definido por
O produto escalar entre dois vetores em
Ou seja, multiplica-se cada componente correspondente e soma-se tudo — simples e direto.
Propriedades úteis (que vamos usar): o produto escalar é distributivo e comutativo:
Propriedades úteis (que vamos usar): o produto escalar é distributivo e comutativo:
Isso permite expandir produtos escalares envolvendo somas para somas de produtos escalares mais simples.
Passo 3
Aplicando a distributividade para expandir
. Primeiro escrevemos a multiplicação termo a termo:
Usando a comutatividade
, somamos os termos que envolvem
:
Portanto basta calcular
,
e
.
Passo 4
Calcular
(é o quadrado da norma de
):
Explicação: multiplica-se cada componente de
por si mesma e soma.
Passo 5
Calcular
:
Detalhe: atenção ao sinal —
e
.
Passo 6
Calcular
(quadrado da norma de
):
Passo 7
Substituir os resultados na expressão obtida no Passo 3:
Calcular passo a passo:
portanto
Passo 8
Verificação alternativa (opcional, boa prática): calcular primeiro
e
e depois o produto escalar diretamente.
Produto escalar direto:
confirmação do resultado anterior.