Dados os vetores \vec{u}=(2,-3,-1) e \vec{v}=(1,-1,4), calcular:
(\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}+2 \vec{v})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,-3,-1) e \vec{v}=(1,-1,4) e pede para calcular o produto escalar
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+2\vec{v}).
Informações relevantes fornecidas:
\vec{u}=(2,-3,-1), \vec{v}=(1,-1,4).
Pergunta: encontrar numericamente (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+2\vec{v}).

Passo 2

Relembrando o que é produto escalar e propriedades que vamos usar (explicação didática e passo-a-passo):
O produto escalar entre dois vetores em \mathbb{R}^3, digamos \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), é definido por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Ou seja, multiplica-se cada componente correspondente e soma-se tudo — simples e direto.
Propriedades úteis (que vamos usar): o produto escalar é distributivo e comutativo:
(\vec{x}+\vec{y})\cdot\vec{z}=\vec{x}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z}, \qquad \vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{x}.
Isso permite expandir produtos escalares envolvendo somas para somas de produtos escalares mais simples.

Passo 3

Aplicando a distributividade para expandir (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+2\vec{v}). Primeiro escrevemos a multiplicação termo a termo:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+2\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+2\vec{v}\cdot\vec{v}.
Usando a comutatividade \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}, somamos os termos que envolvem \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{u}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{v}+2\vec{v}\cdot\vec{v} =\vec{u}\cdot\vec{u}+3\vec{u}\cdot\vec{v}+2\vec{v}\cdot\vec{v}.
Portanto basta calcular \vec{u}\cdot\vec{u}, \vec{u}\cdot\vec{v} e \vec{v}\cdot\vec{v}.

Passo 4

Calcular \vec{u}\cdot\vec{u} (é o quadrado da norma de \vec{u}):
\vec{u}\cdot\vec{u}=2^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}=4+9+1=14.
Explicação: multiplica-se cada componente de \vec{u} por si mesma e soma.

Passo 5

Calcular \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+(-3)\cdot(-1)+(-1)\cdot4=2+3-4=1.
Detalhe: atenção ao sinal — (-3)\cdot(-1)=+3 e (-1)\cdot4=-4.

Passo 6

Calcular \vec{v}\cdot\vec{v} (quadrado da norma de \vec{v}):
\vec{v}\cdot\vec{v}=1^{2}+(-1)^{2}+4^{2}=1+1+16=18.

Passo 7

Substituir os resultados na expressão obtida no Passo 3:
\vec{u}\cdot\vec{u}+3\vec{u}\cdot\vec{v}+2\vec{v}\cdot\vec{v}=14+3\cdot1+2\cdot18.
Calcular passo a passo:
3\cdot1=3,\qquad 2\cdot18=36,
portanto
14+3+36=53.

Passo 8

Verificação alternativa (opcional, boa prática): calcular primeiro \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}+2\vec{v} e depois o produto escalar diretamente.
\vec{u}+\vec{v}=(2+1,\,-3+(-1),\,-1+4)=(3,-4,3),
\vec{u}+2\vec{v}=(2+2\cdot1,\,-3+2\cdot(-1),\,-1+2\cdot4)=(4,-5,7).
Produto escalar direto:
(3,-4,3)\cdot(4,-5,7)=3\cdot4+(-4)\cdot(-5)+3\cdot7=12+20+21=53,
confirmação do resultado anterior.

Resposta

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