Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}. A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 3 & 3 & 2\end{array}\right]
Testamos raízes racionais: \lambda=5 é raiz, pois 125-75-45-5=0. Dividindo o polinômio por (\lambda-5) obtemos o quociente \lambda^{2}+2\lambda+1=(\lambda+1)^2. Portanto o polinômio caracteriza-se como
\det(A-\lambda I)=-(\lambda-5)(\lambda+1)^2.
Assim os autovalores são \lambda=5 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 2).]
Passo 3
Agora vamos encontrar os autovetores (autoespaços) resolvendo [(A-\lambda I)v=0) para cada \lambda.
\begin{cases} -5x + y + z = 0,\\[4pt] 2x -4y + 2z = 0,\\[4pt] 3x +3y -3z = 0. \end{cases}
Podemos simplificar a terceira equação dividindo por 3\]: \(x+y-z=0\Rightarrow z=x+y.
Substituindo em 1ª: -5x + y + (x+y) = -4x +2y =0 \Rightarrow y=2x.
Então z = x+y = x+2x = 3x.
Logo um autovetor associado a \lambda=5 é v_1=(1,2,3)^T. O autoespaço é a reta gerada por esse vetor, isto é
Resolvendo (A+I)v=0 para v=(x,y,z)^T obtemos a única equação independente
x+y+z=0,
pois as outras são múltiplos desta. Então o espaço solução tem dimensão 2. Podemos escolher parâmetros s=y e t=z. Assim
x=-y-z=-s-t,
e
v = \begin{pmatrix}-s-t \\[4pt] s \\[4pt] t\end{pmatrix}= s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto uma base conveniente do autoespaço correspondente a \lambda=-1 é
O autovalor \lambda=5 tem multiplicidade algébrica 1 e o seu autoespaço é de dimensão 1.
O autovalor \lambda=-1 tem multiplicidade algébrica 2 e o seu autoespaço tem dimensão 2 (encontramos duas vectores linearmente independentes).
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+2=3, que é igual à dimensão do espaço, a matriz A tem um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes. Logo A é diagonalizável.
Passo 6
Escolhemos uma matriz P cujas colunas são autovetores linearmente independentes e D diagonal com os autovalores correspondentes na mesma ordem. Uma escolha natural é colocar primeiro o autovetor de \lambda=5 e depois os dois de \lambda=-1. Assim tomamos
Para apresentar A^{100} de maneira elegante e sem calcular P^{-1} explicitamente, observe que D^{100}=I+(5^{100}-1)E_{11} onde E_{11} é a matriz que tem 1 apenas na entrada (1,1). Assim
A matriz P E_{11} P^{-1} é o projetor sobre o autoespaço de \lambda=5 (projetando na direção do autovetor v_1=(1,2,3)^T ao longo do complemento gerado pelos autovetores de -1). Esse projetor pode ser escrito como
\frac{v_1 w^T}{w^T v_1},
onde w é um autovetor à esquerda correspondente a \lambda=5, ou seja, w^T A = 5 w^T. Encontramos w resolvendo A^T w = 5 w. Calculando A^T e resolvendo obtemos w=(1,1,1)^T (qualquer múltiplo serve). Verificamos w^T v_1 = (1,1,1)\cdot(1,2,3)=6. Portanto
Essa fórmula dá A^{100} de forma compacta e explícita (cada entrada é uma combinação linear de 1 e 5^{100}).]
Resposta
Autovalores: \lambda=5 e \lambda=-1 (este com multiplicidade algébrica 2).\n
Base do autoespaço de \lambda=5: \{(1,2,3)^T\}.\n
Base do autoespaço de \lambda=-1: \{(-1,1,0)^T,\;(-1,0,1)^T\}.\n A é diagonalizável: Sim.\n
Uma decomposição A=PDP^{-1} é dada por