¿Que condición o condiciones deben cumplir los escalares a, b y c para que el sistema sea compatible? Justificar.
\left\{\begin{array}{r} 2 x+3 z=a \\ x+3 y+4 z=b \\ 6 y+5 z=c \end{array}\right.

Passo 1

El enunciado da el sistema lineal y pregunta qué condición(es) deben cumplir los escalares a\), \(b\) y \(c\) para que el sistema sea compatible (es decir, tenga al menos una solución). Las ecuaciones dadas son: \[\begin{cases} 2x+3z=a,\\[4pt] x+3y+4z=b,\\[4pt] 6y+5z=c. \end{cases}
Información relevante que se ofrece:
  • Son tres ecuaciones en las tres incógnitas x,y,z\]. - Los términos independientes son los escalares \(a,b,c, que pueden ser cualquier número; la pregunta es encontrar la relación entre ellos necesaria para que exista solución.]

Passo 2

Método elegido: eliminación de Gauss (operaciones elementales sobre filas del sistema aumentado).
Motivo: es un método directo y básico para estudiar compatibilidad (permite ver si aparece una fila del tipo 0=K con K\neq0, lo que indicaría incompatibilidad). Es el método más sencillo y práctico en una prueba sin calculadora.

Passo 3

Escribo la matriz aumentada del sistema (filas = ecuaciones, columnas = coeficientes de x,y,z y término independiente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 3 & a\\[4pt] 1 & 3 & 4 & b\\[4pt] 0 & 6 & 5 & c \end{array}\right].]

Passo 4

Elimino x en la segunda fila usando la primera: hago R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{2}R_1. Calculo cada entrada:
  • Nueva segunda fila, coeficiente de x: 1-\tfrac{1}{2}\cdot 2=0.
  • Coeficiente de y: 3-\tfrac{1}{2}\cdot 0=3.
  • Coeficiente de z: 4-\tfrac{1}{2}\cdot 3 = 4 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{5}{2}.
  • Término independiente: b-\tfrac{1}{2}a.
La matriz queda
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 3 & a\\[4pt] 0 & 3 & \tfrac{5}{2} & b-\tfrac{1}{2}a\\[4pt] 0 & 6 & 5 & c \end{array}\right].]

Passo 5

Elimino y en la tercera fila usando la nueva segunda fila: hago R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 (porque 6-2\cdot 3=0). Calculo:
  • Coeficiente de y: 6-2\cdot 3=0.
  • Coeficiente de z: 5-2\cdot \tfrac{5}{2}=5-5=0.
  • Término independiente: c-2\bigl(b-\tfrac{1}{2}a\bigr)=c-2b+a.
La tercera fila queda
[\,0\;\;0\;\;0\mid c-2b+a\,].

Passo 6

Interpretación de la tercera fila: representa la ecuación 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = c-2b+a, es decir 0 = c-2b+a. Para que el sistema sea compatible esta igualdad debe ser verdadera; si c-2b+a\neq0 la fila corresponde a una contradicción 0=K con K\neq0 y el sistema sería incompatible.
Por tanto la condición necesaria y suficiente de compatibilidad es
c-2b+a=0,
que puede escribirse también como
a-2b+c=0 \quad\text{o}\quad c=2b-a.

Passo 7

Cuando la condición a-2b+c=0 se cumple, el rango de la matriz de coeficientes es 2 (hay dos pivotes: en las columnas de x e y), menor que el número de incógnitas 3. Por eso, en ese caso el sistema tiene infinita cantidad de soluciones (una libertad = un parámetro). Para dar la forma explícita de las soluciones, tomo z=t como parámetro libre y resuelvo hacia atrás.
De la segunda fila reducida:
3y+\tfrac{5}{2}z = b-\tfrac{1}{2}a.
Sustituyendo z=t y despejando y:
y = \frac{b-\tfrac{1}{2}a - \tfrac{5}{2}t}{3} = \frac{2b-a-5t}{6}.
De la primera fila original:
2x+3z=a \quad\Rightarrow\quad x=\frac{a-3z}{2}=\frac{a-3t}{2}.
Así, bajo la condición a-2b+c=0 las soluciones son
x=\frac{a-3t}{2},\qquad y=\frac{2b-a-5t}{6},\qquad z=t\quad(t\in\mathbb{R}).

Resposta

a-2b+c=0

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