El enunciado da el sistema lineal y pregunta qué condición(es) deben cumplir los escalares a\), \(b\) y \(c\) para que el sistema sea compatible (es decir, tenga al menos una solución). Las ecuaciones dadas son:
\[\begin{cases} 2x+3z=a,\\[4pt] x+3y+4z=b,\\[4pt] 6y+5z=c. \end{cases}
Información relevante que se ofrece:
Son tres ecuaciones en las tres incógnitas x,y,z\].
- Los términos independientes son los escalares \(a,b,c, que pueden ser cualquier número; la pregunta es encontrar la relación entre ellos necesaria para que exista solución.]
Passo 2
Método elegido: eliminación de Gauss (operaciones elementales sobre filas del sistema aumentado).
Motivo: es un método directo y básico para estudiar compatibilidad (permite ver si aparece una fila del tipo 0=K con K\neq0, lo que indicaría incompatibilidad). Es el método más sencillo y práctico en una prueba sin calculadora.
Passo 3
Escribo la matriz aumentada del sistema (filas = ecuaciones, columnas = coeficientes de x,y,z y término independiente):
Interpretación de la tercera fila: representa la ecuación 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = c-2b+a, es decir 0 = c-2b+a. Para que el sistema sea compatible esta igualdad debe ser verdadera; si c-2b+a\neq0 la fila corresponde a una contradicción 0=K con K\neq0 y el sistema sería incompatible.
Por tanto la condición necesaria y suficiente de compatibilidad es
c-2b+a=0,
que puede escribirse también como
a-2b+c=0 \quad\text{o}\quad c=2b-a.
Passo 7
Cuando la condición a-2b+c=0 se cumple, el rango de la matriz de coeficientes es 2 (hay dos pivotes: en las columnas de x e y), menor que el número de incógnitas 3. Por eso, en ese caso el sistema tiene infinita cantidad de soluciones (una libertad = un parámetro). Para dar la forma explícita de las soluciones, tomo z=t como parámetro libre y resuelvo hacia atrás.
De la segunda fila reducida:
3y+\tfrac{5}{2}z = b-\tfrac{1}{2}a.
Sustituyendo z=t y despejando y:
y = \frac{b-\tfrac{1}{2}a - \tfrac{5}{2}t}{3} = \frac{2b-a-5t}{6}.