Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede duas coisas: (1) as posições dos polos e (2) o(s) sinal(is) correspondente(s) no domínio do tempo. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão inteira de
está acima. - Não há mais dados (assume-se resposta causal, ou seja, multiplicada por
).
Passo 2
Encontrar os polos: resolver o denominador igual a zero.
Portanto os polos são complexos conjugados em
. Esses polos têm parte real
(negativa) e parte imaginária
.
Passo 3
Vamos lembrar as transformadas de Laplace básicas que vamos usar (aqui
é a função degrau unitário;
e
são constantes reais):
Explicando cada símbolo:
-
é a taxa de crescimento/decadência exponencial (se há decaimento). -
é a frequência angular da oscilação (em rad/s). -
é a variável complexa do domínio de Laplace.
Essas fórmulas mostram como pólos complexos conjugadoscorrespondem a senóides amortecidas do tipo e .
Passo 4
Comparar
com as fórmulas acima. Observe que
Isto tem exatamente a forma da transformada de
com
e
, porque
Como o numerador de
tem o fator
, a transformada inversa é simplesmente multiplicada por
. Logo o sinal no domínio do tempo (assumindo causalidade) é
Passo 5
Interpretação física e propriedades úteis (úteis para a prova):
- Os polos
implicam uma oscilação com frequência angular e decaimento exponencial com constante de tempo . - A resposta é uma senóide amortecida: amplitude inicial (em
) é . - Período da oscilação
(aprox. s). - Como a parte real dos polos é negativa (
), a resposta decai para zero quando .
Resposta
Polos:
Sinal no domínio do tempo:
Sinal no domínio do tempo: