Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Y_{6}(s)=\frac{10(s+5)}{(s+5)^{2}+9}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
Y_{6}(s)=\frac{10(s+5)}{(s+5)^{2}+9}
e pede duas coisas: (1) as posições dos polos e (2) o(s) sinal(is) correspondente(s) no domínio do tempo. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão inteira de Y_{6}(s) está acima.
  • Não há mais dados (assume-se resposta causal, ou seja, multiplicada por u(t)).

Passo 2

Encontrar os polos: resolver o denominador igual a zero.
(s+5)^{2}+9=0
(s+5)^{2}=-9
s+5=\pm j3
s=-5\pm j3.
Portanto os polos são complexos conjugados em s=-5\pm j3. Esses polos têm parte real -5 (negativa) e parte imaginária \pm3.

Passo 3

Vamos lembrar as transformadas de Laplace básicas que vamos usar (aqui u(t) é a função degrau unitário; a e b são constantes reais):
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\,u(t)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}},
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\,u(t)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • a é a taxa de crescimento/decadência exponencial (se a<0 há decaimento).
  • b é a frequência angular da oscilação (em rad/s).
  • s é a variável complexa do domínio de Laplace.
    Essas fórmulas mostram como pólos complexos conjugados (s-a)\pm jb correspondem a senóides amortecidas do tipo e^{at}\cos(bt) e e^{at}\sin(bt).

Passo 4

Comparar Y_{6}(s) com as fórmulas acima. Observe que
Y_{6}(s)=10\cdot\frac{s+5}{(s+5)^{2}+3^{2}}.
Isto tem exatamente a forma da transformada de e^{at}\cos(bt) com a=-5 e b=3, porque
\mathcal{L}\{e^{-5t}\cos(3t)\,u(t)\}=\frac{s-(-5)}{(s-(-5))^{2}+3^{2}}=\frac{s+5}{(s+5)^{2}+3^{2}}.
Como o numerador de Y_{6} tem o fator 10, a transformada inversa é simplesmente multiplicada por 10. Logo o sinal no domínio do tempo (assumindo causalidade) é
y_{6}(t)=10\,e^{-5t}\cos(3t)\,u(t).

Passo 5

Interpretação física e propriedades úteis (úteis para a prova):
  • Os polos s=-5\pm j3 implicam uma oscilação com frequência angular 3\\ \text{rad/s} e decaimento exponencial com constante de tempo \tau=\dfrac{1}{5}=0{,}2\\ \text{s}.
  • A resposta é uma senóide amortecida: amplitude inicial (em t=0^+) é y_6(0^+)=10\cos(0)=10.
  • Período da oscilação T=\dfrac{2\pi}{3} (aprox. 2{,}094 s).
  • Como a parte real dos polos é negativa ( -5), a resposta decai para zero quando t\to\infty.

Resposta

Polos: s=-5\pm j3
Sinal no domínio do tempo: y_{6}(t)=10\,e^{-5t}\cos(3t)\,u(t)

Exercícios relacionados