Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede duas coisas:
- determinar as posições dos polos (ou seja, os valores de
que anulam o denominador); - determinar os correspondentes sinais no domínio do tempo (ou seja, a função
cuja transformada de Laplace é ).
Informações relevantes fornecidas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Não foi dada explicitamente a causalidade, então assumiremos o caso usual de sinais causais (multiplicados por
) a menos que se diga o contrário.
Passo 2
Encontremos os polos resolvendo
:
Portanto os polos estão em
Comentário intuitivo: polos em
significam componentes oscilatórias de frequência angular
rad/s (sem amortecimento, pois parte real é zero).
Passo 3
Para obter o sinal no tempo podemos usar pares usuais da transformada de Laplace ou calcular as contribuições de cada polo por resíduos. Primeiro a observação direta com par conhecido:
temos que, com
,
Como
, pela linearidade:
Passo 4
Para aprender outro jeito (útil em provas): calcular resíduos nos polos simples e somar as exponenciais correspondentes.
Denotando
e
, tem-se
. A fórmula do resíduo em polo simples
é
.
Calculemos
A contribuição no tempo de cada polo (assumindo causalidade) é
, então
confirmando o resultado do passo anterior. Observação: a soma das exponenciais complexas resulta numa função real (cosseno) porque os resíduos são complexos conjugados com mesmos valores reais aqui.
Passo 5
Interpretação física e estabilidade (dica de prova):
- Polos em
(no eixo imaginário) correspondem a oscilações senoidais puras de frequência angular rad/s. - O sinal no tempo é
: amplitude , sem decaimento (não amortecido). - Como há polos no eixo imaginário, o sistema é marginalmente estável: responde com oscilações sustentadas (não converge para zero nem diverge exponencialmente).
- Valor inicial:
(pode verificar pelo teorema do valor inicial).
Resposta
Polos:
Sinal no tempo: