Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Y_{5}(s)=\frac{9 s}{s^{2}+25}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
Y_{5}(s)=\frac{9s}{s^{2}+25}
e pede duas coisas:
  • determinar as posições dos polos (ou seja, os valores de s que anulam o denominador);
  • determinar os correspondentes sinais no domínio do tempo (ou seja, a função y(t) cuja transformada de Laplace é Y_{5}(s)).
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: N(s)=9s.
  • Denominador: D(s)=s^{2}+25.
  • Não foi dada explicitamente a causalidade, então assumiremos o caso usual de sinais causais (multiplicados por u(t)) a menos que se diga o contrário.

Passo 2

Encontremos os polos resolvendo D(s)=0:
s^{2}+25=0 \quad\Rightarrow\quad s^{2}=-25 \quad\Rightarrow\quad s=\pm j5.
Portanto os polos estão em
s_{1}=j5,\qquad s_{2}=-j5.
Comentário intuitivo: polos em \pm j5 significam componentes oscilatórias de frequência angular 5 rad/s (sem amortecimento, pois parte real é zero).

Passo 3

Para obter o sinal no tempo podemos usar pares usuais da transformada de Laplace ou calcular as contribuições de cada polo por resíduos. Primeiro a observação direta com par conhecido:
\text{Sabendo que } \mathcal{L}\{\cos(\omega t)u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},
temos que, com \omega=5,
\frac{s}{s^{2}+25}\xleftrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}\cos(5t)u(t).
Como Y_{5}(s)=9\cdot\frac{s}{s^{2}+25}, pela linearidade:
y(t)=9\cos(5t)u(t).

Passo 4

Para aprender outro jeito (útil em provas): calcular resíduos nos polos simples e somar as exponenciais correspondentes.
Denotando N(s)=9s e D(s)=s^{2}+25, tem-se D'(s)=2s. A fórmula do resíduo em polo simples s_0 é \operatorname{Res}[Y_{5},s_0]=\dfrac{N(s_0)}{D'(s_0)}.
Calculemos
\operatorname{Res}[Y_{5},j5]=\frac{9(j5)}{2(j5)}=\frac{9}{2}, \qquad \operatorname{Res}[Y_{5},-j5]=\frac{9(-j5)}{2(-j5)}=\frac{9}{2}.
A contribuição no tempo de cada polo (assumindo causalidade) é \operatorname{Res}\,e^{s_0 t}u(t), então
y(t)=\frac{9}{2}e^{j5t}u(t)+\frac{9}{2}e^{-j5t}u(t)=9\cos(5t)u(t),
confirmando o resultado do passo anterior. Observação: a soma das exponenciais complexas resulta numa função real (cosseno) porque os resíduos são complexos conjugados com mesmos valores reais aqui.

Passo 5

Interpretação física e estabilidade (dica de prova):
  • Polos em \pm j5 (no eixo imaginário) correspondem a oscilações senoidais puras de frequência angular 5 rad/s.
  • O sinal no tempo é y(t)=9\cos(5t)u(t): amplitude 9, sem decaimento (não amortecido).
  • Como há polos no eixo imaginário, o sistema é marginalmente estável: responde com oscilações sustentadas (não converge para zero nem diverge exponencialmente).
  • Valor inicial: y(0^+)=9 (pode verificar pelo teorema do valor inicial).

Resposta

Polos: s=\pm j5
Sinal no tempo: y(t)=9\cos(5t)u(t)

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