Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede duas coisas:
- determinar as posições dos polos (ou seja, as raízes do denominador);
- determinar os correspondentes sinais no domínio do tempo (ou seja, a transformada inversa de Laplace que gera a resposta temporal).
Informações fornecidas: numeradore denominador .
Passo 2
Encontrar os polos: são as raízes da equação quadrática do denominador. Uso a fórmula de Bhaskara para
O discriminante é
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas:
Portanto os polos estão em
. Observação rápida: parte real
indica decaimento exponencial (sistema estável).
Passo 3
Para inverter para o domínio do tempo vamos usar pares padrão da transformada de Laplace (explicando didaticamente):
- A fórmula básica: se uma função no tempo for
então sua LT é
Aqui
é a taxa de decaimento (parte real do polo) e
é a frequência angular da oscilação (parte imaginária do polo).
- Se a função no tempo for
então
Daí, para inverter é conveniente escrever o numerador como combinação de
e de uma constante, já que o denominador se escreve como
.
Passo 4
Reescrevo o denominador completando o quadrado:
Agora reescrevo o numerador em função de
:
pois
e
.
Substituindo em
:
Agora uso os pares de Laplace do Passo 3:
-
. -
(porque divide-se por ).
Portanto, a transformada inversa é
ou seja
onde
é a função degrau unitário (implicando causalidade,
).
Passo 5
Interpretação física e forma alternativa (útil na prova): os polos
geram um sinal oscilatório amortecido com decaimento exponencial
e frequência angular
. O sinal acima pode também ser escrito como uma só cossenoidal amortecida com amplitude e fase:
com
e
de modo que numericamente
Essa forma mostra amplitude e fase iniciais; a versão em soma de cosseno e seno (do Passo 4) é mais direta para cálculo manual na prova.
Resposta
Polos:
Sinal no domínio do tempo:
Sinal no domínio do tempo: