Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Y_{8}(s)=\frac{2 s}{s^{2}+s-6}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar as posições dos polos da função de transferência Y_{8}(s)=\dfrac{2 s}{s^{2}+s-6} e (2) escrever os sinais (as contribuições no domínio do tempo) correspondentes a esses polos.
Informações fornecidas:
  • A função de transferência é Y_{8}(s)=\dfrac{2 s}{s^{2}+s-6}.
  • Não há outras informações adicionais (assume-se a escolha usual de resposta causal, com multiplicação por u(t) quando for o caso).

Passo 2

Primeiro vamos fatorar o denominador para encontrar as raízes (polos).
O denominador é s^{2}+s-6. Procuro fatores lineares:
s^{2}+s-6=(s+3)(s-2),
pois +3 e -2 multiplicam para -6 e somam para +1.
Logo os polos são as raízes dos fatores:
s=-3\quad\text{e}\quad s=2.

Passo 3

Agora escrevemos Y_{8}(s) em frações parciais para identificar as contribuições no tempo. Procuramos A e B tais que
\frac{2s}{(s+3)(s-2)}=\frac{A}{s+3}+\frac{B}{s-2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+3)(s-2) obtemos
2s = A(s-2)+B(s+3).
Para achar A e B uso o método das substituições diretas (ou comparar coeficientes). Substituindo s=2:
2\cdot 2 = A(0) + B(5)\quad\Rightarrow\quad 4 = 5B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{4}{5}.
Substituindo s=-3:
2\cdot(-3) = A(-5) + B(0)\quad\Rightarrow\quad -6 = -5A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{6}{5}.
Assim a decomposição é
\frac{2s}{(s+3)(s-2)}=\frac{6/5}{s+3}+\frac{4/5}{s-2}.

Passo 4

Agora uso a correspondência básica entre transformada de Laplace e domínio do tempo (assumindo sinal causal):
  • A transformada inversa de \dfrac{1}{s-a} é e^{a t}u(t), onde u(t) é o degrau unitário.
    Portanto:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{6/5}{s+3}\right\}=\frac{6}{5}e^{-3t}u(t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4/5}{s-2}\right\}=\frac{4}{5}e^{2t}u(t).
Somando as contribuições, a resposta no domínio do tempo associada a Y_{8}(s) (modo livre/termos naturais) é
y_{8}(t)=\frac{6}{5}e^{-3t}u(t)+\frac{4}{5}e^{2t}u(t).

Passo 5

Interpretação física / sinais de cada polo:
  • Polo em s=-3: parte real negativa. Gera um termo \dfrac{6}{5}e^{-3t}u(t), que é um exponencial decrescente (estável) e tem coeficiente positivo \dfrac{6}{5}>0.
  • Polo em s=2: parte real positiva. Gera um termo \dfrac{4}{5}e^{2t}u(t), que é um exponencial crescente (instável) e tem coeficiente positivo \dfrac{4}{5}>0.

Resposta

Polo s=-3: contribuição no tempo \dfrac{6}{5}e^{-3t}u(t) (decrescente, coeficiente positivo).
Polo s=2: contribuição no tempo \dfrac{4}{5}e^{2t}u(t) (crescente, coeficiente positivo).

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