Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar as posições dos polos de
; (2) determinar os correspondentes sinais no domínio do tempo (ou seja, a transformação inversa de Laplace associada a cada polo, incluindo o sinal dos coeficientes). Informações dadas:
- A função de transferência é
Nada mais foi dado, então assumiremos a situação causal padrão (sinal multiplicado por
, o degrau unitário).
Passo 2
Encontremos os polos: polos são os valores de
que anulam o denominador. Factoramos o polinômio do denominador:
Logo, os polos são as raízes dessas duas parcelas, isto é:
Comentário rápido: um polo em
com
corresponde tipicamente a um exponencial decrescente
no domínio do tempo (assumindo causalidade).
Passo 3
Para inverter a transformada de Laplace, fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade:
Passo 4
Resolvemos para
e
por substituição direta (método rápido):
- Colocando
: - Colocando
:
Portanto a decomposição é
Passo 5
Agora usamos a propriedade básica da transformada de Laplace inversa: para
constante,
onde
é o degrau unitário (garante causalidade). Aplicando termo a termo:
Passo 6
Somando os dois termos obtemos o sinal no domínio do tempo (assumindo causalidade, para
):
Interpretação dos sinais:
- O polo em
tem resíduo , produz um termo positivo . - O polo em
tem resíduo , produz um termo negativo .
Observações úteis: ambos os polos são reais e negativos, portanto o sistema é estável e ambos os expoentes são decrescentes. O sinal do termo exponencial vem diretamente do sinal do resíduo calculado nas frações parciais.
Resposta
Polos:
e
.
Resposta no domínio do tempo (assumindo causalidade):
Resposta no domínio do tempo (assumindo causalidade):