Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Y_{7}(s)=\frac{4}{s^{2}+3 s+2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar as posições dos polos de Y_{7}(s)=\dfrac{4}{s^{2}+3s+2}; (2) determinar os correspondentes sinais no domínio do tempo (ou seja, a transformação inversa de Laplace associada a cada polo, incluindo o sinal dos coeficientes). Informações dadas:
  • A função de transferência é Y_{7}(s)=\frac{4}{s^{2}+3s+2}.
Nada mais foi dado, então assumiremos a situação causal padrão (sinal multiplicado por u(t), o degrau unitário).

Passo 2

Encontremos os polos: polos são os valores de s que anulam o denominador. Factoramos o polinômio do denominador:
s^{2}+3s+2 = (s+1)(s+2).
Logo, os polos são as raízes dessas duas parcelas, isto é:
s=-1\quad\text{e}\quad s=-2.
Comentário rápido: um polo em s=-a com a>0 corresponde tipicamente a um exponencial decrescente e^{-a t} no domínio do tempo (assumindo causalidade).

Passo 3

Para inverter a transformada de Laplace, fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{4}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2) obtemos a identidade:
4 = A(s+2)+B(s+1).

Passo 4

Resolvemos para A e B por substituição direta (método rápido):
  • Colocando s=-1: \;4 = A(-1+2)+B(0)\Rightarrow 4 = A(1)\Rightarrow A=4.
  • Colocando s=-2: \;4 = A(0)+B(-2+1)\Rightarrow 4 = B(-1)\Rightarrow B=-4.
Portanto a decomposição é
\frac{4}{(s+1)(s+2)}=\frac{4}{s+1}-\frac{4}{s+2}.

Passo 5

Agora usamos a propriedade básica da transformada de Laplace inversa: para a constante,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}u(t),
onde u(t) é o degrau unitário (garante causalidade). Aplicando termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{s+1}\right\}=4e^{-1\cdot t}u(t)=4e^{-t}u(t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-4}{s+2}\right\}=-4e^{-2 t}u(t).

Passo 6

Somando os dois termos obtemos o sinal no domínio do tempo (assumindo causalidade, para t\ge 0):
y_{7}(t)=4e^{-t}-4e^{-2t},\quad t\ge 0.
Interpretação dos sinais:
  • O polo em s=-1 tem resíduo +4, produz um termo positivo +4e^{-t}.
  • O polo em s=-2 tem resíduo -4, produz um termo negativo -4e^{-2t}.
    Observações úteis: ambos os polos são reais e negativos, portanto o sistema é estável e ambos os expoentes são decrescentes. O sinal do termo exponencial vem diretamente do sinal do resíduo calculado nas frações parciais.

Resposta

Polos: s=-1 e s=-2.
Resposta no domínio do tempo (assumindo causalidade): y_{7}(t)=4e^{-t}-4e^{-2t},\\ t\ge 0.

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