Determine, quando possível, as assíntotas horizontais e verticais das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Pra isso, vamos usar conceitos de análise de funções, especialmente sobre assíntotas. Vamos precisar entender como o comportamento da função se comporta quando
tende ao infinito e onde o denominador se anula.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Observe que no denominador temos
, que dá pra fatorar:
Então, a função fica:
Isso nos ajuda a identificar possíveis pontos problemáticos onde a função pode ter assíntotas verticais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem nos valores de
que fazem o denominador igual a zero, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Então, igualamos o denominador a zero:
Resolvendo:
Agora, vamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos:
Para
:
Para
:
Então, em
, tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que significa que pode haver um “buraco” na função em vez de uma assíntota vertical. Já em
, temos uma divisão por zero sem o numerador ser zero, indicando uma assíntota vertical.
Passo 4
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais são linhas horizontais que a função se aproxima quando
tende a
ou
.
Vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que é uma função oscilante que varia entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem limite. Então, o limite será:
Isso nos diz que a função se aproxima da linha
quando
vai para o infinito positivo ou negativo.
Resposta
A função possui:
- Assíntota vertical em
. - Assíntota horizontal em
.