Determine, quando possível, as assíntotas horizontais e verticais das funções dadas: f(x) = sen(x) / (x^3 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Pra isso, vamos usar conceitos de análise de funções, especialmente sobre assíntotas. Vamos precisar entender como o comportamento da função se comporta quando tende ao infinito e onde o denominador se anula.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Observe que no denominador temos , que dá pra fatorar:
Então, a função fica:
Isso nos ajuda a identificar possíveis pontos problemáticos onde a função pode ter assíntotas verticais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem nos valores de que fazem o denominador igual a zero, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Então, igualamos o denominador a zero:
Resolvendo:
Agora, vamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos:
Para :
Para :
Então, em , tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que significa que pode haver um “buraco” na função em vez de uma assíntota vertical. Já em , temos uma divisão por zero sem o numerador ser zero, indicando uma assíntota vertical.

Passo 4

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais são linhas horizontais que a função se aproxima quando tende a ou .
Vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que é uma função oscilante que varia entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem limite. Então, o limite será:
Isso nos diz que a função se aproxima da linha quando vai para o infinito positivo ou negativo.

Resposta

A função possui:
  • Assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal em .

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