Determine se é possível atribuir um número finito para representar a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é:
1/(e^x + e^(-x))
pelo eixo x e pela reta x = 2. Caso seja possível, determine-o.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se dá para calcular a área limitada pela curva , pelo eixo e pela reta . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Essa função é sempre positiva porque o denominador nunca é zero. Além disso, ela é simétrica em relação ao eixo , mas como estamos considerando a reta , vamos focar no intervalo de até .

Passo 3

Para encontrar a área, vamos usar a integral definida. A fórmula geral para a área sob uma curva entre e é:
Á
Aqui, e , então nossa integral fica:
Á

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos simplificar a expressão no denominador:
Então, a integral fica:
Á
Sabemos que a integral de é , mas uma forma mais simples é usar a função arco seno hiperbólico:

Passo 5

Aplicando isso aos limites de integração:
Á
Calculando nos limites:
Á
Sabemos que , então:
E é aproximadamente 0,7616, então:

Resposta

Sim, é possível atribuir um número finito para a área, que é aproximadamente radianos.

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