Determine, se possível, A^{-1} nos casos abaixo:
(a) A=\left(\begin{array}{ll}2 & 5 \\\\ 1 & 3\end{array}\right)
(b) A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)
(c) A=\left(\begin{array}{ll}2 & -4 \\\\ 4 & -8\end{array}\right)
(d) A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 6 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 2 & 3 & 7\end{array}\right)
(e) A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)
(f) A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\ 2 & 1 & 4 \\\ 2 & 3 & 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a inversa, quando existir, de várias matrizes A. Vamos usar dois resultados da teoria:
  1. Para matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
se \det(A)=ad-bc\neq0, então
A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
  1. Para matriz 3\times3, se \det(A)\neq0, usamos
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A),
onde \mathrm{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores de A.

Passo 2

Aplicando a fórmula ao caso (a)
A=\begin{pmatrix}2 & 5\\\\ 1 & 3\end{pmatrix},
temos
\det(A)=2\cdot3 - 5\cdot1 =6-5=1\neq0.
Logo
A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}3 & -5\\\\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -5\\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Para (b)
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
\det(A)=1\cdot1 -(-1)\cdot1 =1+1=2\neq0.
Logo
A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para (c)
A=\begin{pmatrix}2 & -4\\\\ 4 & -8\end{pmatrix},
\det(A)=2\cdot(-8)-(-4)\cdot4 = -16 -(-16)=0.
Como \det(A)=0, A não é invertível.

Passo 5

Agora as 3\times3. Primeiro (d)
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 6\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 2 & 3 & 7\end{pmatrix}.
Fazendo expansão, obtém-se \det(A)=0. Logo A não é invertível.

Passo 6

Para (e)
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix},
calcula-se \det(A)=-1-2+3=0. Logo não há inversa.

Passo 7

Finalmente (f)
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 2 & 3 & 5\end{pmatrix}.
Calcula-se
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}1 & 4\\\\ 3 & 5\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}2 & 4\\\\ 2 & 5\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}2 & 1\\\\ 2 & 3\end{vmatrix} =-7-2+4=-5\neq0.
A matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} -7 & -2 & 4\\\\ -2 & 3 & -1\\\\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix},
sua transposta (adjunta) é
\mathrm{adj}(A)= \begin{pmatrix} -7 & -2 & 3\\\\ -2 & 3 & -2\\\\ 4 & -1 & -1 \end{pmatrix},
portanto
A^{-1} = \frac{1}{-5}\, \begin{pmatrix} -7 & -2 & 3\\\\ -2 & 3 & -2\\\\ 4 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 7 & 2 & -3\\\\ 2 & -3 & 2\\\\ -4 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -5\\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
(c) não existe inversa.
(d) não existe inversa.
(e) não existe inversa.
(f) \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}7 & 2 & -3\\\\ 2 & -3 & 2\\\\ -4 & 1 & 1\end{pmatrix}.

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