Resolva os sistemas abaixo. Possui solução? A solução é única? Possui infinitas soluções?
(a) \left{\begin{array}{l}x+2 y-2 z=6, \\ 3 x+2 y-2 z=-2, \\ 3 x-5 z=-9\end{array}\right.
(b) \left{\begin{array}{l}x-y+2 z=4, \\ 3 x+y+4 z=6, \\ x+y+z=1\end{array}\right.
(c) \left{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=4, \\2 x-y+z=5, \\x-y-z=-1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta três sistemas lineares 3\times3. Nosso objetivo é, para cada um, usar o método de eliminação de Gauss (operações elementares entre equações) para encontrar as soluções e depois classificar o sistema como
– compatível determinado (solução única),
– compatível indeterminado (infinitas soluções) ou
– incompatível (sem solução).
Como temos 3 incógnitas e apenas 2 equações independentes, o sistema (b) é compatível indeterminado, com infinitas soluções. Em forma paramétrica, seja z=t, então
\begin{cases} x + 2y + 3z = 4,\\\\ 2x - y + z = 5,\\\ x - y - z = -1. \end{cases}
Da terceira equação, isolamos
x=-1+y+z.
Substituímos em x+2y+3z=4\):
\[(-1+y+z)+2y+3z=4 \;\Longrightarrow\; 3y+4z=5.
Substituímos em 2x-y+z=5:
2(-1+y+z)-y+z=5 \;\Longrightarrow\; y+3z=7.
Resolvemos o sistema
\begin{cases} 3y+4z=5,\\\ y+3z=7, \end{cases}
da segunda equação y=7-3z\]. Na primeira:
\[3(7-3z)+4z=5 \;\Longrightarrow\; 21-9z+4z=5 \;\Longrightarrow\; -5z=-16 \;\Longrightarrow\; z=\tfrac{16}{5},\]
logo \(y=7-3\cdot\tfrac{16}{5}=-\tfrac{13}{5} e