Resolva os sistemas abaixo. Possui solução? A solução é única? Possui infinitas soluções?
(a) \left{ \begin{array}{l}x+2 y-2 z=6, \\ 3 x+2 y-2 z=-2, \\ 3 x-5 z=-9\end{array}\right.
(b) \left{ \begin{array}{l}x-y+2 z=4, \\ 3 x+y+4 z=6, \\ x+y+z=1\end{array}\right.
(c) \left{ \begin{array}{l}x+2 y+3 z=4, \\2 x-y+z=5, \\x-y-z=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta três sistemas lineares 3\times3. Nosso objetivo é, para cada um, usar o método de eliminação de Gauss (operações elementares entre equações) para encontrar as soluções e depois classificar o sistema como
– compatível determinado (solução única),
– compatível indeterminado (infinitas soluções) ou
– incompatível (sem solução).

Passo 2

Resolução do sistema (a):
\begin{cases} x + 2y - 2z = 6,\\\\ 3x + 2y - 2z = -2,\\\\ 3x - 5z = -9. \end{cases}
  1. Eliminamos x combinando as duas primeiras equações:
3\cdot(x+2y-2z)-(3x+2y-2z)=0x+4y-4z=20 \;\Longrightarrow\;y-z=5.
  1. Da primeira equação, isolamos
x=6-2y+2z.
  1. Substituímos x e y=z+5 na terceira equação 3x-5z=-9:
3(6-2y+2z)-5z=-9 \;\Longrightarrow\; 18-6y+6z-5z=-9 \;\Longrightarrow\; -6y+z=-27.
Como y=z+5, temos
-6(z+5)+z=-27 \;\Longrightarrow\;-5z=3 \;\Longrightarrow\;z=-\tfrac{3}{5},
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y=z+5=\tfrac{22}{5}, \quad x=6-2y+2z=-4.

Passo 3

O sistema (a) é compatível determinado, com única solução
(x,y,z)=\bigl(-4,\tfrac{22}{5},-\tfrac{3}{5}\bigr).

Passo 4

Resolução do sistema (b):
\begin{cases} x - y + 2z = 4,\\\\ 3x + y + 4z = 6,\\\ x + y + z = 1. \end{cases}
  1. Da primeira equação, isolamos
x=4+y-2z.
  1. Substituímos em x+y+z=1:
(4+y-2z)+y+z=1 \;\Longrightarrow\; 2y - z = -3.
  1. Substituímos em 3x+y+4z=6:
3(4+y-2z)+y+4z=6 \;\Longrightarrow\; 4y - 2z = -6 \;\Longrightarrow\; 2y - z = -3.
As duas últimas equações coincidem, restando só
2y - z = -3
e x=4+y-2z.

Passo 5

Como temos 3 incógnitas e apenas 2 equações independentes, o sistema (b) é compatível indeterminado, com infinitas soluções. Em forma paramétrica, seja z=t, então
y=\tfrac{t-3}{2}, \quad x=4+\tfrac{t-3}{2}-2t=\tfrac{5-3t}{2},
para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Resolução do sistema (c):
\begin{cases} x + 2y + 3z = 4,\\\\ 2x - y + z = 5,\\\ x - y - z = -1. \end{cases}
  1. Da terceira equação, isolamos
x=-1+y+z.
  1. Substituímos em x+2y+3z=4\): \[(-1+y+z)+2y+3z=4 \;\Longrightarrow\; 3y+4z=5.
  2. Substituímos em 2x-y+z=5:
2(-1+y+z)-y+z=5 \;\Longrightarrow\; y+3z=7.
  1. Resolvemos o sistema
\begin{cases} 3y+4z=5,\\\ y+3z=7, \end{cases}
da segunda equação y=7-3z\]. Na primeira: \[3(7-3z)+4z=5 \;\Longrightarrow\; 21-9z+4z=5 \;\Longrightarrow\; -5z=-16 \;\Longrightarrow\; z=\tfrac{16}{5},\] logo \(y=7-3\cdot\tfrac{16}{5}=-\tfrac{13}{5} e
x=-1+y+z=-1-\tfrac{13}{5}+\tfrac{16}{5}=-\tfrac{2}{5}.

Passo 7

O sistema (c) é compatível determinado, com única solução
(x,y,z)=\Bigl(-\tfrac{2}{5},\,-\tfrac{13}{5},\,\tfrac{16}{5}\Bigr).

Resposta

(a) única solução (x,y,z)=\bigl(-4,\tfrac{22}{5},-\tfrac{3}{5}\bigr).
(b) infinitas soluções, com parâmetro t:
(x,y,z)=\Bigl(\tfrac{5-3t}{2},\,\tfrac{t-3}{2},\,t\Bigr),\quad t\in\mathbb{R}.
(c) única solução (x,y,z)=\bigl(-\tfrac{2}{5},-\tfrac{13}{5},\tfrac{16}{5}\bigr).

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