Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 4 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar o posto e a nulidade da matriz abaixo (ou seja, quantas colunas/linhas independentes ela tem e qual a dimensão do núcleo):
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & 4 & 2\end{array}\right]
Informações relevantes dadas: é uma matriz 2\times3 com segunda linha aparentemente proporcional à primeira.]

Passo 2

O que é “posto” (rank) e como identificar na prática.
  • Definição prática: o posto de uma matriz é a dimensão do espaço gerado pelas suas colunas (ou equivalentemente pelas suas linhas). Em termos computacionais, é o número de linhas não nulas na forma escalonada por linhas (row‑echelon).
  • Regra útil: aplicar eliminação por linhas (operações elementares) até obter uma linha toda de zeros ou não; o número de linhas não nulas nessa forma é o posto. Essas operações não mudam o posto.

Passo 3

Vamos escalonar A por operações de linha para contar linhas não nulas. Escrevo A inicialmente:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & 4 & 2\end{array}\right].
Faço a operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Isso significa subtrair duas vezes a primeira linha da segunda linha; é uma operação elementar permitida que preserva o posto.
Calculemos a segunda linha após a operação:
R_2 - 2R_1 = (2,4,2) - 2(1,2,1) = (2,4,2) - (2,4,2) = (0,0,0).
A forma escalonada fica:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{array}\right].]

Passo 4

A partir da forma escalonada: existe exatamente uma linha não nula (a primeira). Portanto o posto de A é
\text{posto}(A)=1.
Comentário intuitivo: todas as colunas são múltiplos da primeira coluna (verificação rápida abaixo), então só há uma coluna independente.

Passo 5

Verificação alternativa por colunas (mais direta e que ajuda a entender): as colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Nota-se que c_2=2c_1 e c_3=1\cdot c_1. Logo todas as colunas estão no mesmo subespaço unidimensional gerado por c_1, confirmando \text{posto}(A)=1.]

Passo 6

O que é “nulidade” e como calcular.
  • Definição: a nulidade (dimensão do núcleo, \dim\ker(A)) é a dimensão do conjunto de vetores x\in\mathbb{R}^3 tais que Ax=0.
  • Teorema prático (teorema do posto-nulidade): para uma matriz m\times n vale
\text{posto}(A)+\text{nulidade}(A)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=3. Como \text{posto}(A)=1, segue que
\text{nulidade}(A)=3-1=2.

Passo 7

Para aprender a encontrar explicitamente o núcleo (útil na prova), resolvemos Ax=0. Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3)^\top, o sistema é (pegando a primeira linha; a segunda é proporcional e não dá nova informação):
x_1+2x_2+x_3=0.
Isolando x_1:
x_1=-2x_2-x_3.
Parametrizando com parâmetros livres s=x_2 e t=x_3, temos
x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2s-t\\[4pt] s\\[4pt] t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto o núcleo é gerado pelos vetores \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, que são linearmente independentes (dois vetores não-proporcionais em \mathbb{R}^3), confirmando nulidade 2.]

Passo 8

Resumo final (motivo e resultado): a matriz tem apenas uma linha/coluna independente (segunda linha é múltipla da primeira), então posto 1; por posto-nulidade, nulidade 2. Você já tem também uma base explícita do núcleo para usar na prova.

Resposta

\text{posto}(A)=1
\text{nulidade}(A)=2

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