Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes. \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 4 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: determinar o posto e a nulidade da matriz abaixo (ou seja, quantas colunas/linhas independentes ela tem e qual a dimensão do núcleo):
Informações relevantes dadas: é uma matriz 2\times3 com segunda linha aparentemente proporcional à primeira.]
Passo 2
O que é “posto” (rank) e como identificar na prática.
Definição prática: o posto de uma matriz é a dimensão do espaço gerado pelas suas colunas (ou equivalentemente pelas suas linhas). Em termos computacionais, é o número de linhas não nulas na forma escalonada por linhas (row‑echelon).
Regra útil: aplicar eliminação por linhas (operações elementares) até obter uma linha toda de zeros ou não; o número de linhas não nulas nessa forma é o posto. Essas operações não mudam o posto.
Passo 3
Vamos escalonar A por operações de linha para contar linhas não nulas. Escrevo A inicialmente:
Faço a operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Isso significa subtrair duas vezes a primeira linha da segunda linha; é uma operação elementar permitida que preserva o posto.
Calculemos a segunda linha após a operação:
Nota-se que c_2=2c_1 e c_3=1\cdot c_1. Logo todas as colunas estão no mesmo subespaço unidimensional gerado por c_1, confirmando \text{posto}(A)=1.]
Passo 6
O que é “nulidade” e como calcular.
Definição: a nulidade (dimensão do núcleo, \dim\ker(A)) é a dimensão do conjunto de vetores x\in\mathbb{R}^3 tais que Ax=0.
Teorema prático (teorema do posto-nulidade): para uma matriz m\times n vale
\text{posto}(A)+\text{nulidade}(A)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=3. Como \text{posto}(A)=1, segue que
\text{nulidade}(A)=3-1=2.
Passo 7
Para aprender a encontrar explicitamente o núcleo (útil na prova), resolvemos Ax=0. Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3)^\top, o sistema é (pegando a primeira linha; a segunda é proporcional e não dá nova informação):
x_1+2x_2+x_3=0.
Isolando x_1:
x_1=-2x_2-x_3.
Parametrizando com parâmetros livres s=x_2 e t=x_3, temos
Portanto o núcleo é gerado pelos vetores \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, que são linearmente independentes (dois vetores não-proporcionais em \mathbb{R}^3), confirmando nulidade 2.]
Passo 8
Resumo final (motivo e resultado): a matriz tem apenas uma linha/coluna independente (segunda linha é múltipla da primeira), então posto 1; por posto-nulidade, nulidade 2. Você já tem também uma base explícita do núcleo para usar na prova.