Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 2 & 0 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar o posto e a nulidade da matriz
A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
Informações dadas que vou usar:
  • A é uma matriz 4\times4 cujas entradas já estão explícitas.
  • A terceira coluna é a coluna nula (todos os elementos são zero).
  • É pedido o posto (dimensão do espaço gerado pelas colunas) e a nulidade (dimensão do núcleo de A, i.e. solução do sistema homogêneo A x=0).]

Passo 2

Breve lembrete de conceito (passo didático):
  • O posto de uma matriz é a dimensão do espaço coluna; uma forma prática de encontrar o posto é fazer operações elementares por linhas para chegar a uma forma escalonada e contar quantas linhas (ou colunas) não nulas (ou pivôs) restam.
  • A nulidade é a dimensão do espaço das soluções do sistema homogêneo A x=0. Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity) para uma matriz m\times n,
\text{posto}(A)+\text{nulidade}(A)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=4.

Passo 3

Fazer redução por linhas para ver a independência das linhas (isso mostra o número de pivôs):
Parto da matriz A:
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
Aplicando operações por linhas simples:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
    Isso produz:
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.
Só a primeira linha é não nula; portanto existe exatamente um pivô (na primeira coluna). Assim o posto é
\text{posto}(A)=1.]

Passo 4

Interpretação pelas colunas (cheque rápido, didático):
As colunas são
c_1=\begin{bmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix},\quad c_2=\begin{bmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix}=c_1,\quad c_3=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix},\quad c_4=\begin{bmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix}=c_1.
Logo todas as colunas são múltiplos/replicações de c_1 (e c_3 é zero), então o espaço coluna é gerado por um único vetor e a dimensão é 1, confirmando o posto 1.]

Passo 5

Resolver o sistema homogêneo A x=0 para encontrar a nulidade (passo didático sobre como parametrizar o núcleo).
Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top, a única equação não-trivial (da primeira linha) é
x_1+x_2+0\cdot x_3+x_4=0,
ou seja
x_1 = -x_2 - x_4.
As variáveis x_2,x_3,x_4 são livres; podemos tomar parâmetros s,x_3=t,x_4=u com s,t,u\in\mathbb{R}. Então
x = \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\\[2pt]x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-s-u\\[2pt]s\\[2pt]t\\[2pt]u\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Temos três parâmetros livres, logo a dimensão do núcleo é 3. Portanto
\text{nulidade}(A)=3.]

Passo 6

Verificação pelo teorema posto-nulidade:
\text{posto}(A)+\text{nulidade}(A)=1+3=4,
que coincide com o número de colunas n=4. Tudo consistente.

Resposta

\text{posto}(A)=1
\text{nulidade}(A)=3

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