Determinar o posto (número máximo de colunas linearmente independentes).
Determinar a nulidade (dimensão do núcleo, isto é, número de soluções livres de A\mathbf{x}=\mathbf{0}).]
Passo 2
O método escolhido é eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar uma forma escalonada da matriz. Vou explicar algumas ideias antes de começar os cálculos:
Operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) não mudam a dependência linear entre colunas no sentido de preservar o número de pivôs: o número de pivôs (colunas com pivô) na forma escalonada é exatamente o posto.
O posto de A é o número de pivôs que aparecerem ao reduzir A a uma forma escalonada (ou à forma reduzida por linhas).
A nulidade é dada pelo teorema do posto-nulidade: \dim(\ker A)= (número de colunas) - (posto). Aqui a matriz tem 4 colunas, então \text{nulidade}=4-\text{posto}.
Vou agora transformar a matriz passo a passo e explicar cada operação.
Passo 3
Primeiro coloco a matriz e faço uma troca de linha para ter um 1 como pivô principal (é mais simples trabalhar com pivô 1). Troco a linha 1 com a linha 2:
Apareceram pivôs em todas as quatro colunas (há um pivô em cada linha também). Portanto o número de pivôs é \!4.
Logo o posto de A é \!4.
A nulidade pela relação \text{nulidade}= (número de colunas) - (posto) é \;4-4=0.
Observação intuitiva: como a forma reduzida por linhas é I_4, as colunas são linearmente independentes e a única solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0} é o vetor zero.