Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{rrrr}-1 & 1 & 6 & 5 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 2 & 5 & 4 \\\\ 2 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar o posto e a nulidade da matriz abaixo. A matriz fornecida é
A=\left[\begin{array}{rrrr} -1 & 1 & 6 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 3\\[4pt] -1 & 2 & 5 & 4\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Resumo do que se pede:
  • Determinar o posto (número máximo de colunas linearmente independentes).
  • Determinar a nulidade (dimensão do núcleo, isto é, número de soluções livres de A\mathbf{x}=\mathbf{0}).]

Passo 2

O método escolhido é eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar uma forma escalonada da matriz. Vou explicar algumas ideias antes de começar os cálculos:
  • Operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) não mudam a dependência linear entre colunas no sentido de preservar o número de pivôs: o número de pivôs (colunas com pivô) na forma escalonada é exatamente o posto.
  • O posto de A é o número de pivôs que aparecerem ao reduzir A a uma forma escalonada (ou à forma reduzida por linhas).
  • A nulidade é dada pelo teorema do posto-nulidade: \dim(\ker A)= (número de colunas) - (posto). Aqui a matriz tem 4 colunas, então \text{nulidade}=4-\text{posto}.
    Vou agora transformar a matriz passo a passo e explicar cada operação.

Passo 3

Primeiro coloco a matriz e faço uma troca de linha para ter um 1 como pivô principal (é mais simples trabalhar com pivô 1). Troco a linha 1 com a linha 2:
\begin{array}{rcl} R_1 &\leftrightarrow& R_2 \end{array}
Resultado:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 3\\[4pt] -1 & 1 & 6 & 5\\[4pt] -1 & 2 & 5 & 4\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Explicação: ter um 1 no pivô facilita as contas; trocar linhas é uma operação válida.]

Passo 4

Elimino as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (faço zeros nas entradas embaixo do 1 da primeira coluna).
  • Faço R_2\leftarrow R_2+R_1.
  • Faço R_3\leftarrow R_3+R_1.
  • Faço R_4\leftarrow R_4-2R_1.
    Calculemos cada nova linha:
R_2 = (-1,1,6,5)+(1,1,2,3) = (0,2,8,8),
R_3 = (-1,2,5,4)+(1,1,2,3) = (0,3,7,7),
R_4 = (2,1,0,1)-2(1,1,2,3) = (0,-1,-4,-5).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 2 & 8 & 8\\[4pt] 0 & 3 & 7 & 7\\[4pt] 0 & -1 & -4 & -5 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora foco na segunda coluna (submatriz das linhas 2–4 e colunas 2–4). Faço R_2 ter pivô 1 dividindo por 2:
R_2\leftarrow \tfrac{1}{2}R_2 = (0,1,4,4).
Matriz:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 7 & 7\\[4pt] 0 & -1 & -4 & -5 \end{array}\right].
Explicação: pivô igual a 1 torna simples zerar as outras entradas na coluna.]

Passo 6

Elimino as entradas não nulas na segunda coluna (faço zeros acima e abaixo do pivô 1 em R_2):
  • R_1\leftarrow R_1-R_2.
  • R_3\leftarrow R_3-3R_2.
  • R_4\leftarrow R_4+R_2.
    Calculando:
R_1=(1,1,2,3)-(0,1,4,4)=(1,0,-2,-1),
R_3=(0,3,7,7)-3(0,1,4,4)=(0,0,-5,-5),
R_4=(0,-1,-4,-5)+(0,1,4,4)=(0,0,0,-1).
Matriz atual:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -5 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Passo para a terceira coluna: o pivô em R_3 é -5. Torno-o 1 dividindo a linha por -5:
R_3\leftarrow -\tfrac{1}{5}R_3 = (0,0,1,1).
Matriz:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right].
Explicação: novamente facilitará eliminar as outras entradas da coluna 3.]

Passo 8

Zerro as entradas acima do pivô em coluna 3:
  • R_1\leftarrow R_1+2R_3.
  • R_2\leftarrow R_2-4R_3.
    Calculando:
R_1=(1,0,-2,-1)+2(0,0,1,1)=(1,0,0,1),
R_2=(0,1,4,4)-4(0,0,1,1)=(0,1,0,0).
Matriz:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 9

Por fim, o pivô em R_4 na quarta coluna é -1. Divido R_4 por -1 para obter o pivô 1:
R_4\leftarrow -R_4 = (0,0,0,1).
Agora zereo as entradas acima na coluna 4:
  • R_1\leftarrow R_1-R_4.
  • R_3\leftarrow R_3-R_4.
    Calculando:
R_1=(1,0,0,1)-(0,0,0,1)=(1,0,0,0),
R_3=(0,0,1,1)-(0,0,0,1)=(0,0,1,0).
E R_2 já tem zero na coluna 4. A matriz ficou:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],
que é a matriz identidade I_4.]

Passo 10

Interpretação final:
  • Apareceram pivôs em todas as quatro colunas (há um pivô em cada linha também). Portanto o número de pivôs é \!4.
  • Logo o posto de A é \!4.
  • A nulidade pela relação \text{nulidade}= (número de colunas) - (posto) é \;4-4=0.
Observação intuitiva: como a forma reduzida por linhas é I_4, as colunas são linearmente independentes e a única solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0} é o vetor zero.

Resposta

Posto: 4
Nulidade: 0

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