Seja A uma matriz m \times n. Prove que \operatorname{posto}(A)=0 se e somente se A é a matriz nula.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de tamanho m\times n (entradas em algum corpo, por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}) e pede para provar a equivalência:
\operatorname{posto}(A)=0 \quad\text{se e somente se}\quad A \text{ é a matriz nula.}é
Informações relevantes que temos:
  • A é uma matriz m\times n.
  • O que precisamos mostrar são as duas implicações:
    (i) se \operatorname{posto}(A)=0 então A é a matriz nula;
    (ii) se A é a matriz nula então \operatorname{posto}(A)=0.

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados de forma bem concreta).
  • Colunas de A: escrevendo A=[c_1\; c_2\; \dots\; c_n], cada c_j é um vetor em \mathbb{K}^m (onde \mathbb{K} é o corpo das entradas).
  • Espaço coluna (coluna gerada por A): \operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}\{c_1,\dots,c_n\}, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares \alpha_1 c_1+\cdots+\alpha_n c_n.
  • Posto (rank) de A: \operatorname{posto}(A) é a dimensão linear de \operatorname{Col}(A). Outra maneira equivalente: é o número máximo de colunas linearmente independentes entre c_1,\dots,c_n.
  • Vetor zero: denota-se por 0 (ou \mathbf{0}) o vetor em \mathbb{K}^m cujas m entradas são todas zero.
Explicação curta sobre linear independência: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Por exemplo, dois vetores iguais são dependentes porque 1\cdot v + (-1)\cdot v = 0.

Passo 3

Provar que se \operatorname{posto}(A)=0 então A é a matriz nula.
  • Se \operatorname{posto}(A)=0, pela definição de posto temos \dim(\operatorname{Col}(A))=0.
  • Um subespaço vetorial de dimensão zero só pode ser o subespaço formado pelo vetor zero: \operatorname{Col}(A)=\{0\}.
  • Como cada coluna c_j de A pertence a \operatorname{Col}(A), segue c_j=0 para todo j=1,\dots,n.
  • Se todas as colunas são o vetor zero, então todas as entradas de A são zero, ou seja, A é a matriz nula.
Comentário intuitivo: posto zero significa que não há nenhum vetor não-nulo gerado pelas colunas; então cada coluna tem de ser o vetor nulo.

Passo 4

Provar que se A é a matriz nula então \operatorname{posto}(A)=0.
  • Se A é a matriz nula, por definição cada coluna c_j é o vetor zero: c_j=0 para todo j.
  • Então \operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}\{0,\dots,0\}=\{0\}.
  • A dimensão do espaço \{0\} é 0, portanto \operatorname{posto}(A)=0.
Comentário prático: uma matriz com todas as entradas zero não gera nenhum vetor não-trivial, então seu posto tem de ser zero.

Passo 5

Observação alternativa (opcional, mas útil como reforço): outra definição equivalente de posto é o maior r tal que existe um menor r\times r não-nulo em A. Para r=1 esse menor é simplesmente uma entrada de A. Se \operatorname{posto}(A)=0 então não existe nenhum menor 1\times1 não-nulo, logo todas as entradas são zero — mesma conclusão por outro caminho.

Resposta

\operatorname{posto}(A)=0 se e somente se A é a matriz nula.

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