Seja
uma matriz
. Prove que
se e somente se
é a matriz nula.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de tamanho
(entradas em algum corpo, por exemplo
ou
) e pede para provar a equivalência:
Informações relevantes que temos:
-
é uma matriz . - O que precisamos mostrar são as duas implicações:
(i) seentão é a matriz nula;
(ii) seé a matriz nula então .
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados de forma bem concreta).
- Colunas de
: escrevendo , cada é um vetor em (onde é o corpo das entradas). - Espaço coluna (coluna gerada por
): , ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares . - Posto (rank) de
: é a dimensão linear de . Outra maneira equivalente: é o número máximo de colunas linearmente independentes entre . - Vetor zero: denota-se por
(ou ) o vetor em cujas entradas são todas zero.
Explicação curta sobre linear independência: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Por exemplo, dois vetores iguais são dependentes porque
.
Passo 3
Provar que se
então
é a matriz nula.
- Se
, pela definição de posto temos . - Um subespaço vetorial de dimensão zero só pode ser o subespaço formado pelo vetor zero:
. - Como cada coluna
de pertence a , segue para todo . - Se todas as colunas são o vetor zero, então todas as entradas de
são zero, ou seja, é a matriz nula.
Comentário intuitivo: posto zero significa que não há nenhum vetor não-nulo gerado pelas colunas; então cada coluna tem de ser o vetor nulo.
Passo 4
Provar que se
é a matriz nula então
.
- Se
é a matriz nula, por definição cada coluna é o vetor zero: para todo . - Então
. - A dimensão do espaço
é , portanto .
Comentário prático: uma matriz com todas as entradas zero não gera nenhum vetor não-trivial, então seu posto tem de ser zero.
Passo 5
Observação alternativa (opcional, mas útil como reforço): outra definição equivalente de posto é o maior
tal que existe um menor
não-nulo em
. Para
esse menor é simplesmente uma entrada de
. Se
então não existe nenhum menor
não-nulo, logo todas as entradas são zero — mesma conclusão por outro caminho.