Considere as seguintes matrizes A=\left[\begin{array}{ccc} x & -2 & 1 \\\\ 0 & x+1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} x & 1 & 1 \\\\ 2 & x & 3 \\\\ -1 & 5 & x \end{array}\right] \quad \text { e } \quad C=\left[\begin{array}{cc} x^{2} & 2 x \\\\ 10 & x \end{array}\right] . Resolva as seguintes equações: (a) \operatorname{det}(A)=9 Passo 1O enunciado nos dá a matriz A=\begin{pmatrix} x & -2 & 1 \\\\ 0 & x+1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 1 \end{pmatrix} e pede os valores de x tais que \det(A)=9. O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3\times3, que faremos por expansão de Laplace na primeira linha. Passo 2Para calcular \det(A) aplicamos a expansão na primeira linha: \det(A) = x \begin{vmatrix} x+1 & 3 \\[6pt] -5 & 1 \end{vmatrix} -(-2) \begin{vmatrix} 0 & 3 \\[6pt] 1 & 1 \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} 0 & x+1 \\[6pt] 1 & -5 \end{vmatrix}. Agora calculamos cada determinante 2\times2: \begin{aligned} \begin{vmatrix} x+1 & 3 \\[4pt] -5 & 1 \end{vmatrix} &= (x+1)\cdot1 - 3\cdot(-5) = x+1 + 15 = x+16,\\\ \begin{vmatrix} 0 & 3 \\[4pt] 1 & 1 \end{vmatrix} &= 0\cdot1 - 3\cdot1 = -3,\\\ \begin{vmatrix} 0 & x+1 \\[4pt] 1 & -5 \end{vmatrix} &= 0\cdot(-5) - (x+1)\cdot1 = -(x+1). \end{aligned}] Passo 3Substituindo de volta na expressão de \det(A), temos \det(A) = x(x+16) + 2\cdot(-3) + 1\cdot\bigl(- (x+1)\bigr) = x^2 + 16x - 6 - x - 1 = x^2 + 15x - 7. Exigindo \det(A)=9, obtemos a equação x^2 + 15x - 7 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 15x - 16 = 0. Passo 4Para resolver a equação quadrática x^2 + 15x - 16 = 0, calculamos o discriminante: \Delta = 15^2 - 4\cdot1\cdot(-16) = 225 + 64 = 289, logo \sqrt{\Delta}=17. Pelas fórmulas de Bhaskara, x = \frac{-15 \pm 17}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \quad\text{ou}\quad x = -16. RespostaOs valores de x que satisfazem \det(A)=9 são x = 1 e x = -16. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDeterminar o valor de x tal que A B=I_{3}, onde A=\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 7 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} -x & -14 x & 7 x \\\\ 0 & 1 & 0 \\\ x & 4 x & -2 x \end{array}\right] Escrever uma matriz A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} e uma matriz B=\left(b_{i j}\right)_{3 \times 3}, definidas do seguinte modo: a_{i j}=\left\{\begin{array}{l} i^{j}, \text { se } i=j \\\ \frac{i}{j}, \text { se } i \neq j \end{array} \quad \text { e } \quad b_{i j}=\left\{\begin{array}{c} (i+1)^{j}, \text { se } i=j \\\ \frac{i}{j+1}, \text { se } i \neq j \end{array}\right.\right. Calcular 6 A-12 B. Considere as seguintes matrizes A=\left[\begin{array}{ccc} x & -2 & 1 \\\\ 0 & x+1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} x & 1 & 1 \\\\ 2 & x & 3 \\\\ -1 & 5 & x \end{array}\right] \quad \text { e } \quad C=\left[\begin{array}{cc} x^{2} & 2 x \\\\ 10 & x \end{array}\right] . Resolva as seguintes equações: (b) \operatorname{det}(B)=\operatorname{det}\text{(C)}. Determine o posto das seguintes matrizes. A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3 \\\\ -2 & 6 & 2 \\\\ 3 & -1 & 1 \end{array}\right] \text { e } C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 0 & -5 \\\\ 3 & 1 & 2 & -3 \\\\ -5 & -4 & -4 & 1 \end{array}\right]