Considere as seguintes matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc} x & -2 & 1 \\\\ 0 & x+1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} x & 1 & 1 \\\\ 2 & x & 3 \\\\ -1 & 5 & x \end{array}\right] \quad \text { e } \quad C=\left[\begin{array}{cc} x^{2} & 2 x \\\\ 10 & x \end{array}\right] .
Resolva as seguintes equações: (a) \operatorname{det}(A)=9

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} x & -2 & 1 \\\\ 0 & x+1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 1 \end{pmatrix}
e pede os valores de x tais que \det(A)=9. O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3\times3, que faremos por expansão de Laplace na primeira linha.

Passo 2

Para calcular \det(A) aplicamos a expansão na primeira linha:
\det(A) = x \begin{vmatrix} x+1 & 3 \\[6pt] -5 & 1 \end{vmatrix} -(-2) \begin{vmatrix} 0 & 3 \\[6pt] 1 & 1 \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} 0 & x+1 \\[6pt] 1 & -5 \end{vmatrix}.
Agora calculamos cada determinante 2\times2:
\begin{aligned} \begin{vmatrix} x+1 & 3 \\[4pt] -5 & 1 \end{vmatrix} &= (x+1)\cdot1 - 3\cdot(-5) = x+1 + 15 = x+16,\\\ \begin{vmatrix} 0 & 3 \\[4pt] 1 & 1 \end{vmatrix} &= 0\cdot1 - 3\cdot1 = -3,\\\ \begin{vmatrix} 0 & x+1 \\[4pt] 1 & -5 \end{vmatrix} &= 0\cdot(-5) - (x+1)\cdot1 = -(x+1). \end{aligned}]

Passo 3

Substituindo de volta na expressão de \det(A), temos
\det(A) = x(x+16) + 2\cdot(-3) + 1\cdot\bigl(- (x+1)\bigr) = x^2 + 16x - 6 - x - 1 = x^2 + 15x - 7.
Exigindo \det(A)=9, obtemos a equação
x^2 + 15x - 7 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 15x - 16 = 0.

Passo 4

Para resolver a equação quadrática x^2 + 15x - 16 = 0, calculamos o discriminante:
\Delta = 15^2 - 4\cdot1\cdot(-16) = 225 + 64 = 289,
logo \sqrt{\Delta}=17. Pelas fórmulas de Bhaskara,
x = \frac{-15 \pm 17}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \quad\text{ou}\quad x = -16.

Resposta

Os valores de x que satisfazem \det(A)=9 são x = 1 e x = -16.

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