Determine a potência P_{\infty} e a energia E_{\infty} dos sinais:
x_{2}(t)=e^{j(2 t+\pi / 4)}

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x_{2}(t)=e^{j\left(2t+\pi/4\right)}
e pede dois valores: a potência média P_{\infty} do sinal e a energia E_{\infty} do sinal.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função complexa está definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • O argumento da exponencial é 2t+\pi/4, ou seja, a amplitude (módulo) do exponencial complexo é possivelmente constante.
  • É necessário calcular \,E_{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}|x_{2}(t)|^{2}\,dt e \,P_{\infty}=\lim_{T\to\infty}\dfrac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x_{2}(t)|^{2}\,dt.

Passo 2

Relembrando e explicando o que é |x(t)|^{2} para sinais complexos (aulas práticas, sem jargão chato): para qualquer sinal complexo x(t),
|x(t)|^{2}=x(t)\,x^{*}(t),
onde x^{*}(t) é o conjugado complexo de x(t). O conjugado de uma exponencial complexa e^{j\theta} é e^{-j\theta}. Aplicando isso ao nosso sinal:
|x_{2}(t)|^{2}=e^{j(2t+\pi/4)}\cdot e^{-j(2t+\pi/4)}=e^{0}=1.
Então, importantíssimo: o módulo do sinal é constante igual a 1 para todo t. Isso simplifica muito os cálculos de energia e potência.

Passo 3

Cálculo da energia E_{\infty}. A definição de energia (a fórmula que vamos usar) é
E_{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}|x_{2}(t)|^{2}\,dt.
Substituindo |x_{2}(t)|^{2}=1 obtemos, primeiro em intervalo finito symmetricamente:
E(T)=\int_{-T}^{T}1\,dt=2T.
Agora tomamos o limite quando T\to\infty:
E_{\infty}=\lim_{T\to\infty}2T.
Esse limite cresce sem bound (vai para infinito), portanto a integral não converge para um número finito — a energia total é infinita.

Passo 4

Cálculo da potência média P_{\infty}. A definição de potência média é
P_{\infty}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x_{2}(t)|^{2}\,dt.
Substituindo |x_{2}(t)|^{2}=1 temos
\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}1\,dt=\frac{1}{2T}\cdot(2T)=1.
Tomando o limite T\to\infty isso permanece 1. Logo a potência média é 1.

Passo 5

Verificação alternativa e interpretação (passo didático extra, bem prático para prova): o sinal x_{2}(t) é uma exponencial complexa de módulo unitário e é periódico com frequência angular \omega=2. O período é
T_{0}=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Para sinais periódicos com |x(t)|^{2} periódico, a potência média pode ser calculada por média em um período:
P_{\infty}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}}|x_{2}(t)|^{2}\,dt=\frac{1}{\pi}\int_{t_{0}}^{t_{0}+\pi}1\,dt=\frac{1}{\pi}\cdot\pi=1,
confirmando o resultado anterior. Conclusão conceitual: sinais que não decaem no tempo (como exponenciais complexas de módulo constante) têm energia infinita e potência finita; estes são chamados sinais de potência na linguagem técnica.

Resposta

P_{\infty}=1
E_{\infty}=\infty

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