Determine a potência
e a energia
dos sinais:
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede dois valores: a potência média
do sinal e a energia
do sinal.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função complexa está definida para todo
. - O argumento da exponencial é
, ou seja, a amplitude (módulo) do exponencial complexo é possivelmente constante. - É necessário calcular
e .
Passo 2
Relembrando e explicando o que é
para sinais complexos (aulas práticas, sem jargão chato): para qualquer sinal complexo
,
onde
é o conjugado complexo de
. O conjugado de uma exponencial complexa
é
. Aplicando isso ao nosso sinal:
Então, importantíssimo: o módulo do sinal é constante igual a
para todo
. Isso simplifica muito os cálculos de energia e potência.
Passo 3
Cálculo da energia
. A definição de energia (a fórmula que vamos usar) é
Substituindo
obtemos, primeiro em intervalo finito symmetricamente:
Agora tomamos o limite quando
:
Esse limite cresce sem bound (vai para infinito), portanto a integral não converge para um número finito — a energia total é infinita.
Passo 4
Cálculo da potência média
. A definição de potência média é
Substituindo
temos
Tomando o limite
isso permanece
. Logo a potência média é
.
Passo 5
Verificação alternativa e interpretação (passo didático extra, bem prático para prova): o sinal
é uma exponencial complexa de módulo unitário e é periódico com frequência angular
. O período é
Para sinais periódicos com
periódico, a potência média pode ser calculada por média em um período:
confirmando o resultado anterior. Conclusão conceitual: sinais que não decaem no tempo (como exponenciais complexas de módulo constante) têm energia infinita e potência finita; estes são chamados sinais de potência na linguagem técnica.