Determine a potência
e a energia
dos sinais:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sinal
:
- Determinar a potência média
do sinal. - Determinar a energia
do sinal.
Informações dadas que vamos usar:
- O sinal é
. -
é a função degrau unitário, isto é, para e para . - Logo,
para e para .
Passo 2
Definição de energia de um sinal contínuo (aquela que vamos calcular):
Explicando:
é o quadrado do módulo do sinal em cada instante (para sinais reais é só
); a integral soma essa “energia instantânea” ao longo de todo o tempo. Se essa integral for finita, chama-se o sinal de sinal de energia.
Passo 3
Definição de potência média (a outra quantidade pedida):
Explicando: calcula-se a energia total num intervalo simétrico
e divide-se pela duração
; em seguida toma-se o limite quando o intervalo cresce sem limite. Se a energia total for finita, normalmente a potência média será zero (isso será mostrado de forma explícita abaixo).
Passo 4
Calcular a energia
para
.
Como
para
, a integral sobre todo
reduz-se a uma integral de
a
. Além disso,
para
. Logo:
Agora calculamos a integral. A primitiva de
é
. Aplicando os limites:
Portanto
Observação rápida e útil: em geral, para
,
. Aqui usamos
.
Passo 5
Calcular a potência média
.
Usamos a definição:
Como
para
, a integral em
vale a integral em
quando
. Então, para
,
Dividindo por
e tomando o limite:
Quando
temos
, assim o numerador tende a
e o denominador cresce sem limite, logo a fração tende a
. Portanto
Interpretação: o sinal tem energia finita (
), logo é um sinal de energia; sinais de energia têm potência média zero.
Passo 6
Resumo final (sem cálculos adicionais): o sinal
tem energia finita
e potência média nula. Força aí — sinal decai rápido no tempo, por isso acumula pouco “quadrado” ao longo do tempo e a potência média é zero.