Determine a potência P_{\infty} e a energia E_{\infty} dos sinais:
x_{1}(t)=e^{-2 t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sinal x_{1}(t)=e^{-2 t}u(t):
  • Determinar a potência média P_{\infty} do sinal.
  • Determinar a energia E_{\infty} do sinal.
Informações dadas que vamos usar:
  • O sinal é x_{1}(t)=e^{-2 t}u(t).
  • u(t) é a função degrau unitário, isto é, u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge 0.
  • Logo, x_{1}(t)=0 para t<0 e x_{1}(t)=e^{-2t} para t\ge 0.

Passo 2

Definição de energia de um sinal contínuo (aquela que vamos calcular):
E_{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^{2}\,dt.
Explicando: |x(t)|^{2} é o quadrado do módulo do sinal em cada instante (para sinais reais é só x(t)^2); a integral soma essa “energia instantânea” ao longo de todo o tempo. Se essa integral for finita, chama-se o sinal de sinal de energia.

Passo 3

Definição de potência média (a outra quantidade pedida):
P_{\infty}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^{2}\,dt.
Explicando: calcula-se a energia total num intervalo simétrico [-T,T] e divide-se pela duração 2T; em seguida toma-se o limite quando o intervalo cresce sem limite. Se a energia total for finita, normalmente a potência média será zero (isso será mostrado de forma explícita abaixo).

Passo 4

Calcular a energia E_{\infty} para x_{1}(t)=e^{-2t}u(t).
Como x_{1}(t)=0 para t<0, a integral sobre todo (-\infty,\infty) reduz-se a uma integral de 0 a \infty. Além disso, |x_{1}(t)|^{2}=(e^{-2t})^{2}=e^{-4t} para t\ge 0. Logo:
E_{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}|x_{1}(t)|^{2}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\,dt.
Agora calculamos a integral. A primitiva de e^{-4t} é -\tfrac{1}{4}e^{-4t}. Aplicando os limites:
\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\,dt=\left[-\tfrac{1}{4}e^{-4t}\right]_{0}^{\infty} =\left(0\right)-\left(-\tfrac{1}{4}e^{0}\right)=\tfrac{1}{4}.
Portanto
E_{\infty}=\tfrac{1}{4}.
Observação rápida e útil: em geral, para a>0, \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\tfrac{1}{a}. Aqui usamos a=4.

Passo 5

Calcular a potência média P_{\infty}.
Usamos a definição:
P_{\infty}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x_{1}(t)|^{2}\,dt.
Como x_{1}(t)=0 para t<0, a integral em [-T,T] vale a integral em [0,T] quando T>0. Então, para T>0,
\int_{-T}^{T}|x_{1}(t)|^{2}\,dt=\int_{0}^{T} e^{-4t}\,dt=\tfrac{1}{4}\bigl(1-e^{-4T}\bigr).
Dividindo por 2T e tomando o limite:
P_{\infty}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot \tfrac{1}{4}\bigl(1-e^{-4T}\bigr) =\lim_{T\to\infty}\frac{1-e^{-4T}}{8T}.
Quando T\to\infty temos e^{-4T}\to 0, assim o numerador tende a 1 e o denominador cresce sem limite, logo a fração tende a 0. Portanto
P_{\infty}=0.
Interpretação: o sinal tem energia finita ( E_{\infty}=\tfrac{1}{4}), logo é um sinal de energia; sinais de energia têm potência média zero.

Passo 6

Resumo final (sem cálculos adicionais): o sinal x_{1}(t)=e^{-2t}u(t) tem energia finita \tfrac{1}{4} e potência média nula. Força aí — sinal decai rápido no tempo, por isso acumula pouco “quadrado” ao longo do tempo e a potência média é zero.

Resposta

P_{\infty}=0
E_{\infty}=\dfrac{1}{4}

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