Determine a potência e o valor RMS (root-mean-square) dos sinais a seguir:
e) x(t)=C_{0}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a potência e o valor RMS (root-mean-square) do sinal x(t)=C_{0}.”
Informações dadas:
  • O sinal é constante no tempo: x(t)=C_{0} para todo t.
  • C_{0} é uma constante (pode ser real ou complexa).
    As perguntas concretas que vamos responder:
  • Qual é a potência média P desse sinal?
  • Qual é o valor RMS x_{\mathrm{rms}} desse sinal?

Passo 2

Definição de potência média (explicação didática): para um sinal determinístico x(t) contínuo em tempo, a potência média é definida por
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt.
Aqui:
  • |x(t)|^{2} é o quadrado do módulo de x(t) (se x for real, |x(t)|^{2}=x(t)^{2});
  • 2T é o comprimento do intervalo simétrico usado para média;
  • o limite T\to\infty garante que estamos calculando a média no tempo infinito (média estacionária).
    Essa definição é a maneira padrão de medir “potência” de sinais que existem para todo tempo.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso sinal constante: como x(t)=C_{0} para todo t, o integrando é constante:
|x(t)|^{2}=|C_{0}|^{2}\quad\text{(constante)}.
Portanto a integral é simples:
\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt=\int_{-T}^{T}|C_{0}|^{2}\,dt=|C_{0}|^{2}\cdot(2T).
Expliquei cada passo: substituir o valor constante na integral e multiplicar pelo comprimento do intervalo.

Passo 4

Agora colocamos esse resultado na fórmula da potência e calculamos o limite:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\bigl(|C_{0}|^{2}\cdot 2T\bigr)=\lim_{T\to\infty}|C_{0}|^{2}=|C_{0}|^{2}.
Conclusão: a potência média do sinal constante x(t)=C_{0} é P=|C_{0}|^{2}.
Observação prática: se C_{0} for real e não negativo, então P=C_{0}^{2}. Se C_{0} for real negativo, P=C_{0}^{2} também (porque do módulo).

Passo 5

Definição e relação RMS-potência (didática): o valor RMS de um sinal é a raiz quadrada da média do quadrado do sinal. Para sinais de potência bem definidos temos a relação direta
x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt}=\sqrt{P}.
Isto é, RMS é simplesmente a raiz quadrada da potência média.

Passo 6

Aplicando ao caso constante:
x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{P}=\sqrt{|C_{0}|^{2}}=|C_{0}|.
Interpretação: o valor RMS do sinal constante é o valor absoluto da constante. Se C_{0}\ge 0 real então x_{\mathrm{rms}}=C_{0}; se C_{0} for negativo, x_{\mathrm{rms}}=-C_{0}; se for complexo, x_{\mathrm{rms}} é o módulo.

Passo 7

Exemplos rápidos (para fixar):
  • Se C_{0}=3, então P=9 e x_{\mathrm{rms}}=3.
  • Se C_{0}=-2, então P=4 e x_{\mathrm{rms}}=2.
  • Se C_{0}=j (unidade imaginária), então P=1 e x_{\mathrm{rms}}=1.

Passo 8

Resumo amigável: para sinais constantes a conta é curta e direta — basta lembrar que a média do quadrado de uma constante é o quadrado da constante, e o RMS é a raiz disso. Vai dar certo na prova, respira fundo e confia na fórmula!

Resposta

Potência: P=|C_{0}|^{2}
RMS: x_{\mathrm{rms}}=|C_{0}|

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