Determine a potência e o valor RMS (root-mean-square) dos sinais a seguir:
c) x(t)=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\theta_{1}\right)+C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\theta_{2}\right) \operatorname{com} \omega_{1}=\omega_{2}=\omega

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=C_{1}\cos\!\left(\omega_{1}t+\theta_{1}\right)+C_{2}\cos\!\left(\omega_{2}t+\theta_{2}\right)
com a informação adicional \omega_{1}=\omega_{2}=\omega.
O que é pedido:
  • Determinar a potência média (time-average power) do sinal x(t).
  • Determinar o valor RMS (root-mean-square) de x(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • Amplitudes: C_{1} e C_{2}.
  • Fases: \theta_{1} e \theta_{2}.
  • Frequências iguais: \omega_{1}=\omega_{2}=\omega (isso implica que os dois termos têm a mesma frequência, logo não são ortogonais no tempo).

Passo 2

Definição que vamos usar (aquela que cai bem na prova): a potência média de um sinal periódico x(t) é a média temporal do quadrado do sinal. Escrevendo matematicamente,
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x^{2}(t)\,dt.
Para sinais periódicos de período T_{0} dá para calcular a média em um período:
P=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} x^{2}(t)\,dt.
O valor RMS é a raiz quadrada da potência média:
\text{RMS}=\sqrt{P}.

Passo 3

Vamos calcular x^{2}(t) explicitamente e depois fazer a média. Primeiro escrevo x^{2}(t):
x^{2}(t)=C_{1}^{2}\cos^{2}\!\left(\omega t+\theta_{1}\right)+C_{2}^{2}\cos^{2}\!\left(\omega t+\theta_{2}\right) +2C_{1}C_{2}\cos\!\left(\omega t+\theta_{1}\right)\cos\!\left(\omega t+\theta_{2}\right).
Agora usamos identidades trigonométricas úteis (decore ou anote na folha da prova):
\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}, \qquad \cos A\cos B=\frac{\cos(A-B)+\cos(A+B)}{2}.
Aplicando-as em cada termo:
C_{1}^{2}\cos^{2}\!\left(\omega t+\theta_{1}\right)=\frac{C_{1}^{2}}{2}+\frac{C_{1}^{2}}{2}\cos\!\big(2\omega t+2\theta_{1}\big),
C_{2}^{2}\cos^{2}\!\left(\omega t+\theta_{2}\right)=\frac{C_{2}^{2}}{2}+\frac{C_{2}^{2}}{2}\cos\!\big(2\omega t+2\theta_{2}\big),
2C_{1}C_{2}\cos\!\left(\omega t+\theta_{1}\right)\cos\!\left(\omega t+\theta_{2}\right) = C_{1}C_{2}\cos\!\big(\theta_{1}-\theta_{2}\big) + C_{1}C_{2}\cos\!\big(2\omega t+\theta_{1}+\theta_{2}\big).

Passo 4

Some todos os termos para obter x^{2}(t) em forma explícita:
x^{2}(t)=\frac{C_{1}^{2}}{2}+\frac{C_{2}^{2}}{2}+C_{1}C_{2}\cos\!\big(\theta_{1}-\theta_{2}\big) +\text{termos que oscilam em }2\omega t,
onde os termos oscilantes são
\frac{C_{1}^{2}}{2}\cos\!\big(2\omega t+2\theta_{1}\big) +\frac{C_{2}^{2}}{2}\cos\!\big(2\omega t+2\theta_{2}\big) + C_{1}C_{2}\cos\!\big(2\omega t+\theta_{1}+\theta_{2}\big).
Ao fazer a média temporal (integrar sobre um período), todos os termos que contêm \cos(2\omega t+\cdot) têm média zero (porque a média de um cosseno integral num número inteiro de períodos é zero). Logo a única parte que sobrevive na média é a parte constante:
P=\frac{C_{1}^{2}}{2}+\frac{C_{2}^{2}}{2}+C_{1}C_{2}\cos\!\big(\theta_{1}-\theta_{2}\big).

Passo 5

Podemos reescrever o resultado numa forma compacta reconhecível. Defina \Delta\theta=\theta_{1}-\theta_{2}. Então
P=\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+2C_{1}C_{2}\cos\!\Delta\theta}{2}.
Note que o numerador é exatamente o quadrado da amplitude resultante A ao somar vetorialmente (ou fasorialmente) as duas cossenos de mesma frequência:
A^{2}=C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+2C_{1}C_{2}\cos\!\Delta\theta.
Portanto
P=\frac{A^{2}}{2}.
O valor RMS é simplesmente
\text{RMS}=\sqrt{P}=\frac{A}{\sqrt{2}}
ou, substituindo A^{2},
\text{RMS}=\sqrt{\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+2C_{1}C_{2}\cos\!\Delta\theta}{2}}.

Passo 6

Comentário prático e encorajamento: isso significa que, quando as frequências são iguais, aparece um termo cruzado que depende da diferença de fase \Delta\theta. Se \Delta\theta=0 (as cossenos estão em fase) os amplitudes somam e a potência cresce bastante; se \Delta\theta=\pi (em oposição de fase) há redução da amplitude e da potência. Dá pra aplicar direto na prova: expanda x^{2}, use identidades trigonométricas e elimine os termos oscilantes pela média — segue sempre esse passo-a-passo.

Resposta

P=\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+2C_{1}C_{2}\cos\!\big(\theta_{1}-\theta_{2}\big)}{2}
\text{RMS}=\sqrt{\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+2C_{1}C_{2}\cos\!\big(\theta_{1}-\theta_{2}\big)}{2}}.

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