Determine a potência e o valor RMS (root-mean-square) dos sinais a seguir:
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá o sinal
com a informação adicional
.
O que é pedido:
- Determinar a potência média (time-average power) do sinal
. - Determinar o valor RMS (root-mean-square) de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Amplitudes:
e . - Fases:
e . - Frequências iguais:
(isso implica que os dois termos têm a mesma frequência, logo não são ortogonais no tempo).
Passo 2
Definição que vamos usar (aquela que cai bem na prova): a potência média de um sinal periódico
é a média temporal do quadrado do sinal. Escrevendo matematicamente,
Para sinais periódicos de período
dá para calcular a média em um período:
O valor RMS é a raiz quadrada da potência média:
Passo 3
Vamos calcular
explicitamente e depois fazer a média. Primeiro escrevo
:
Agora usamos identidades trigonométricas úteis (decore ou anote na folha da prova):
Aplicando-as em cada termo:
Passo 4
Some todos os termos para obter
em forma explícita:
onde os termos oscilantes são
Ao fazer a média temporal (integrar sobre um período), todos os termos que contêm
têm média zero (porque a média de um cosseno integral num número inteiro de períodos é zero). Logo a única parte que sobrevive na média é a parte constante:
Passo 5
Podemos reescrever o resultado numa forma compacta reconhecível. Defina
. Então
Note que o numerador é exatamente o quadrado da amplitude resultante
ao somar vetorialmente (ou fasorialmente) as duas cossenos de mesma frequência:
Portanto
O valor RMS é simplesmente
ou, substituindo
,
Passo 6
Comentário prático e encorajamento: isso significa que, quando as frequências são iguais, aparece um termo cruzado que depende da diferença de fase
. Se
(as cossenos estão em fase) os amplitudes somam e a potência cresce bastante; se
(em oposição de fase) há redução da amplitude e da potência. Dá pra aplicar direto na prova: expanda
, use identidades trigonométricas e elimine os termos oscilantes pela média — segue sempre esse passo-a-passo.