Determine a potência e o valor RMS (root-mean-square) dos sinais a seguir:
d) x(t)=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\theta_{1}\right)+C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\theta_{2}\right) \operatorname{com} \omega_{1} \neq \omega_{2} \mathrm{e} \omega_{1} / \omega_{2} \in \mathrm{Q}

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=C_{1}\cos\!\left(\omega_{1}t+\theta_{1}\right)+C_{2}\cos\!\left(\omega_{2}t+\theta_{2}\right),
com as informações relevantes:
  • \omega_{1}\neq\omega_{2}.
  • \dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}}\in\mathbb{Q} (a razão é racional).
    O que nos pedem:
  • Determinar a potência average (média de potência) do sinal.
  • Determinar o valor RMS (root-mean-square) do sinal.
    Observação: por \dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}}\in\mathbb{Q} existe um período comum T tal que ambos os termos são periódicos com o mesmo T. Vamos usar isso ao calcular a média temporal.

Passo 2

Definições que vamos usar (explicadas com calma):
  • Potência média de um sinal periódico x(t) com período T é
P=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x^2(t)\,dt,
onde t_0 é qualquer instante (a integral sobre um período é independente do ponto de começo).
  • Valor RMS é a raíz quadrada da potência média:
\text{RMS}=\sqrt{P}.
Essas fórmulas vêm da ideia de média temporal: a potência instantânea é x^2(t), e a potência média é a média dessa função ao longo de um período.

Passo 3

Justificação da existência de um período comum T (importante para poder usar a fórmula da média):
Como \dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}}\in\mathbb{Q}, escrevemos em termos inteiros irredutíveis
\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=\frac{p}{q},
com p,q\in\mathbb{Z}, p e q positivos e sem fator comum. Então existe \omega_0 tal que
\omega_{1}=p\omega_{0},\qquad \omega_{2}=q\omega_{0}.
Tomando
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}},
temos \omega_{1}T=2\pi p e \omega_{2}T=2\pi q, ou seja cada cosseno completa um número inteiro de ciclos em T. Assim x(t) é periódico com período T e podemos usar a média sobre esse T.

Passo 4

Expandimos x^2(t) para preparar a integral:
x^2(t)=C_{1}^{2}\cos^{2}\!\left(\omega_{1}t+\theta_{1}\right)+C_{2}^{2}\cos^{2}\!\left(\omega_{2}t+\theta_{2}\right)+2C_{1}C_{2}\cos\!\left(\omega_{1}t+\theta_{1}\right)\cos\!\left(\omega_{2}t+\theta_{2}\right).
Vamos calcular a média de cada termo separadamente sobre um período T.

Passo 5

Média dos termos \cos^{2}. Usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}.
Portanto, para i=1,2,
\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}\cos^{2}\!\left(\omega_{i}t+\theta_{i}\right)\,dt =\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}\frac{1+\cos\!\big(2\omega_{i}t+2\theta_{i}\big)}{2}\,dt.
A média do termo constante 1/2 é 1/2. A média do termo \cos(2\omega_{i}t+2\theta_{i}) sobre o período T é zero porque 2\omega_{i} é múltiplo inteiro de \omega_{0} e a integral de \cos(k\omega_{0}t+\varphi) sobre um período T=2\pi/\omega_{0} vale zero quando k é inteiro não nulo. Logo
\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}\cos^{2}\!\left(\omega_{i}t+\theta_{i}\right)\,dt=\frac{1}{2}.
Assim as contribuições das partes quadráticas são
\text{média}\big[C_{1}^{2}\cos^{2}(\cdot)\big]=\frac{C_{1}^{2}}{2},\qquad \text{média}\big[C_{2}^{2}\cos^{2}(\cdot)\big]=\frac{C_{2}^{2}}{2}.éé

Passo 6

Média do termo cruzado. Use a identidade produto-para-soma:
\cos A\cos B=\frac{1}{2}\big[\cos(A-B)+\cos(A+B)\big].
Aplicando com A=\omega_{1}t+\theta_{1} e B=\omega_{2}t+\theta_{2}, obtemos
2C_{1}C_{2}\cos(\cdot)\cos(\cdot)=C_{1}C_{2}\big[\cos\!\big((\omega_{1}-\omega_{2})t+(\theta_{1}-\theta_{2})\big)+\cos\!\big((\omega_{1}+\omega_{2})t+(\theta_{1}+\theta_{2})\big)\big].
Cada uma dessas funções é do tipo \cos(k\omega_{0}t+\varphi) com k inteiro. Para a primeira, k=p-q; para a segunda, k=p+q. Como \omega_{1}\neq\omega_{2} temos p\neq q e portanto k\neq 0 em ambos os casos. A integral (média) de \cos(k\omega_{0}t+\varphi) sobre T=2\pi/\omega_{0} é zero quando k é inteiro não nulo (porque \int_{t_0}^{t_0+T}\cos(k\omega_{0}t+\varphi)\,dt=0). Conclusão: a média do termo cruzado é zero. Observação importante: as fases \theta_{1},\theta_{2} aparecem nas somas, mas não impedem que a média seja zero.

Passo 7

Somando as médias dos termos, obtemos a potência média total:
P=\frac{C_{1}^{2}}{2}+\frac{C_{2}^{2}}{2}=\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}{2}.
Portanto a potência é simplesmente a soma das potências de cada cosseno individual (porque os termos cruzados têm média zero).

Passo 8

Agora o valor RMS é a raiz quadrada da potência:
\text{RMS}=\sqrt{P}=\sqrt{\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}{2}}.
Comentario didático final: note que as fases \theta_{1},\theta_{2} não influenciam nem a potência média nem o RMS; apenas as amplitudes C_{1},C_{2} importam. Isso é útil em prova: sempre que tiver soma de senóides de frequências distintas (com razão racional para garantir período comum), os termos cruzados desaparecem ao fazer a média sobre o período.

Resposta

P=\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}{2}
\text{RMS}=\sqrt{\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}{2}}

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