Determine a potência e o valor RMS (root-mean-square) dos sinais a seguir:
d)
d)
Passo 1
O enunciado dá o sinal
com as informações relevantes:
-
. -
(a razão é racional).
O que nos pedem: - Determinar a potência average (média de potência) do sinal.
- Determinar o valor RMS (root-mean-square) do sinal.
Observação: porexiste um período comum tal que ambos os termos são periódicos com o mesmo . Vamos usar isso ao calcular a média temporal.
Passo 2
Definições que vamos usar (explicadas com calma):
- Potência média de um sinal periódico
com período é
onde
é qualquer instante (a integral sobre um período é independente do ponto de começo).
- Valor RMS é a raíz quadrada da potência média:
Essas fórmulas vêm da ideia de média temporal: a potência instantânea é
, e a potência média é a média dessa função ao longo de um período.
Passo 3
Justificação da existência de um período comum
(importante para poder usar a fórmula da média):
Como , escrevemos em termos inteiros irredutíveis
Como
com
,
e
positivos e sem fator comum. Então existe
tal que
Tomando
temos
e
, ou seja cada cosseno completa um número inteiro de ciclos em
. Assim
é periódico com período
e podemos usar a média sobre esse
.
Passo 4
Expandimos
para preparar a integral:
Vamos calcular a média de cada termo separadamente sobre um período
.
Passo 5
Média dos termos
. Usamos a identidade trigonométrica
Portanto, para
,
A média do termo constante
é
. A média do termo
sobre o período
é zero porque
é múltiplo inteiro de
e a integral de
sobre um período
vale zero quando
é inteiro não nulo. Logo
Assim as contribuições das partes quadráticas são
Passo 6
Média do termo cruzado. Use a identidade produto-para-soma:
Aplicando com
e
, obtemos
Cada uma dessas funções é do tipo
com
inteiro. Para a primeira,
; para a segunda,
. Como
temos
e portanto
em ambos os casos. A integral (média) de
sobre
é zero quando
é inteiro não nulo (porque
). Conclusão: a média do termo cruzado é zero. Observação importante: as fases
aparecem nas somas, mas não impedem que a média seja zero.
Passo 7
Somando as médias dos termos, obtemos a potência média total:
Portanto a potência é simplesmente a soma das potências de cada cosseno individual (porque os termos cruzados têm média zero).
Passo 8
Agora o valor RMS é a raiz quadrada da potência:
Comentario didático final: note que as fases
não influenciam nem a potência média nem o RMS; apenas as amplitudes
importam. Isso é útil em prova: sempre que tiver soma de senóides de frequências distintas (com razão racional para garantir período comum), os termos cruzados desaparecem ao fazer a média sobre o período.