Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número complexo é
. - Deve-se elevar esse número à potência
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): usar o Teorema de De Moivre. Vou primeiro transformar o número complexo para a forma polar
, onde:
Aqui
e
.
Passo 3
Calcular o módulo
. Usando
com
e
:
Passo 4
Determinar o argumento
. Primeiro a razão
. A tangente igual a
tem soluções
. Como o ponto
está no segundo quadrante, o ângulo correto é
Portanto podemos escrever
Passo 5
Apresentar o Teorema de De Moivre e explicar as variáveis. O Teorema de De Moivre diz que, para todo número real
, ângulo
e inteiro
,
Aqui
é o módulo,
é o argumento, e
é o expoente inteiro.
Passo 6
Aplicar De Moivre com
,
e
:
Passo 7
Calcular
. Usando regras de potência,
Passo 8
Calcular o ângulo
:
Agora avaliar
e
. Para inteiros
vale
e
. Como
é ímpar,
Passo 9
Substituir os valores obtidos: