Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
(1+\sqrt{3} i)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência (1+\sqrt{3}\,i)^{5}.
Informações dadas:
  • O número complexo cuja potência vamos calcular é 1+\sqrt{3}\,i.
  • O expoente é 5.

Passo 2

Vamos usar o Teorema de De Moivre, que é indicado pelo enunciado. Antes de aplicar, preciso transformar o número complexo para a forma polar (módulo e argumento). Vou explicar o que cada coisa significa:
  • Todo número complexo z=x+yi pode ser escrito em coordenadas polares como z=r(\cos\theta+i\sin\theta), onde:
    • r é o módulo de z, isto é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. É a “distância” do ponto ao eixo origem no plano complexo.
    • \theta é o argumento de z, isto é o ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor que representa z.
  • O Teorema de De Moivre diz que, para inteiro n, \bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).Aqui r^{n} é o módulo elevado a n e os cosseno e seno recebem o ângulo multiplicado por n.

Passo 3

Calcular o módulo r do número 1+\sqrt{3}\,i. Nesta expressão, x=1 e y=\sqrt{3}. Portanto
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.

Passo 4

Calcular o argumento \theta. Para z=1+\sqrt{3}\,i temos
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.
O ângulo cujo tangente é \sqrt{3} no primeiro quadrante é \theta=\dfrac{\pi}{3}. Assim podemos escrever
1+\sqrt{3}\,i=2\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{3}+i\sin\!\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 5

Aplicar o Teorema de De Moivre com n=5. Usando a forma polar obtida,
(1+\sqrt{3}\,i)^{5}=\bigl(2(\cos\!\tfrac{\pi}{3}+i\sin\!\tfrac{\pi}{3})\bigr)^{5}=2^{5}\bigl(\cos(5\cdot\tfrac{\pi}{3})+i\sin(5\cdot\tfrac{\pi}{3})\bigr).
Calculo 2^{5} e o ângulo 5\cdot\tfrac{\pi}{3}:
2^{5}=32,\qquad 5\cdot\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{5\pi}{3}.

Passo 6

Agora avalio os senos e cossenos de \tfrac{5\pi}{3}. Note que \tfrac{5\pi}{3}=2\pi-\tfrac{\pi}{3}, então
\cos\!\tfrac{5\pi}{3}=\cos\!\bigl(2\pi-\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\cos\!\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},
\sin\!\tfrac{5\pi}{3}=\sin\!\bigl(2\pi-\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-\sin\!\tfrac{\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em \,32(\cos\!\tfrac{5\pi}{3}+i\sin\!\tfrac{5\pi}{3}):
32\Bigl(\tfrac{1}{2}+i\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr)=32\cdot\tfrac{1}{2}+32\cdot i\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=16-16\sqrt{3}\,i.

Resposta

16-16\sqrt{3}\,i

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