Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número complexo cuja potência vamos calcular é
. - O expoente é
.
Passo 2
Vamos usar o Teorema de De Moivre, que é indicado pelo enunciado. Antes de aplicar, preciso transformar o número complexo para a forma polar (módulo e argumento). Vou explicar o que cada coisa significa:
- Todo número complexo
pode ser escrito em coordenadas polares como , onde: -
é o módulo de , isto é . É a “distância” do ponto ao eixo origem no plano complexo. -
é o argumento de , isto é o ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor que representa .
-
- O Teorema de De Moivre diz que, para inteiro
, Aqui é o módulo elevado a e os cosseno e seno recebem o ângulo multiplicado por .
Passo 3
Calcular o módulo
do número
. Nesta expressão,
e
. Portanto
Passo 4
Calcular o argumento
. Para
temos
O ângulo cujo tangente é
no primeiro quadrante é
. Assim podemos escrever
Passo 5
Aplicar o Teorema de De Moivre com
. Usando a forma polar obtida,
Calculo
e o ângulo
:
Passo 6
Agora avalio os senos e cossenos de
. Note que
, então
Substituindo em
: