Determine a forma polar para z w, \frac{z}{w} e \frac{1}{z} colocando primeiro z e w na forma polar.
z=4(\sqrt{3}+i), \quad w=-3+3 i

Passo 1

O enunciado dá os complexos
z=4(\sqrt{3}+i),\qquad w=-3+3i
e pede que eu coloque z e w na forma polar e, a partir disso, determine a forma polar de z w, \dfrac{z}{w} e \dfrac{1}{z}. Vou listar os dados úteis extraídos:
  • Para z: parte real \operatorname{Re}(z)=4\sqrt{3} e parte imaginária \operatorname{Im}(z)=4.
  • Para w: parte real \operatorname{Re}(w)=-3 e parte imaginária \operatorname{Im}(w)=3.
    As tarefas são, em ordem: (i) achar |z| e \arg(z) e escrever z em forma polar; (ii) fazer o mesmo para w; (iii) usar essas formas para obter z w, \dfrac{z}{w} e \dfrac{1}{z}.

Passo 2

Lembrete rápido (fórmulas e ideia): para um número complexo a+ib a forma polar é r(\cos\theta+i\sin\theta) com
r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(b,a),
onde \operatorname{atan2}(b,a) é o arco cuja tangente é b/a ajustado conforme o quadrante (é isso que evita erro de sinal). Também vale a forma exponencial r e^{i\theta}. As regras úteis para operações:
  • Produto: |z w|=|z|\,|w| e \arg(z w)=\arg(z)+\arg(w).
  • Quociente: \left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|} e \arg\!\left(\dfrac{z}{w}\right)=\arg(z)-\arg(w).
  • Recíproco: \left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|} e \arg\!\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z).

Passo 3

Converter z. Aqui a=4\sqrt{3} e b=4. Calculo do módulo:
|z|=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+4^{2}}=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8.
Agora a tangente do argumento é
\tan\theta=\frac{b}{a}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Como a>0 e b>0 estamos no primeiro quadrante, logo
\arg(z)=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}.
Portanto a forma polar é
z=8\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\bigr)=8e^{i\pi/6}.

Passo 4

Converter w. Aqui a=-3 e b=3. Módulo:
|w|=\sqrt{(-3)^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Tangente:
\tan\theta=\frac{b}{a}=\frac{3}{-3}=-1.
A arctangente de -1 vale -\pi/4, mas como a<0 e b>0 estamos no segundo quadrante; o ângulo correto é
\arg(w)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.
Assim
w=3\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\bigr)=3\sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}.

Passo 5

Calcular z w usando as regras de polar: multiplica-se os módulos e soma-se os argumentos.
Módulo:
|z w|=|z|\,|w|=8\cdot 3\sqrt{2}=24\sqrt{2}.
Argumento:
\arg(z w)=\arg(z)+\arg(w)=\frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{4}=\frac{2\pi}{12}+\frac{9\pi}{12}=\frac{11\pi}{12}.
Logo
z w=24\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{11\pi}{12}+i\sin\frac{11\pi}{12}\bigr)=24\sqrt{2}\,e^{i11\pi/12}.

Passo 6

Calcular \dfrac{z}{w} usando as regras: divide-se os módulos e subtrai-se os argumentos.
Módulo inicial:
\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}=\frac{8}{3\sqrt{2}}.
Simplifico racionalizando o denominador:
\frac{8}{3\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.
Argumento:
\arg\!\left(\frac{z}{w}\right)=\arg(z)-\arg(w)=\frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}=\frac{2\pi}{12}-\frac{9\pi}{12}=-\frac{7\pi}{12}.
(Esse ângulo está no intervalo (-\pi,\pi], então é uma escolha válida como argumento principal.)
Portanto
\frac{z}{w}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)\bigr)=\frac{4\sqrt{2}}{3}\,e^{-i7\pi/12}.

Passo 7

Calcular \dfrac{1}{z}. Pelo recíproco, o módulo é o inverso e o argumento tem sinal trocado:
\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}=\frac{1}{8},\qquad \arg\!\left(\frac{1}{z}\right)=-\arg(z)=-\frac{\pi}{6}.
Assim
\frac{1}{z}=\frac{1}{8}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)\bigr)=\frac{1}{8}\,e^{-i\pi/6}.

Passo 8

Checagem rápida (sanity check): multiplicando z por \dfrac{1}{z} nos módulos dá 8\cdot\dfrac{1}{8}=1 e nos argumentos \dfrac{\pi}{6}+(-\dfrac{\pi}{6})=0, ou seja o produto é 1, como esperado.

Resposta

z=8\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\bigr)=8e^{i\pi/6}\n
w=3\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\bigr)=3\sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}\n
z w=24\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{11\pi}{12}+i\sin\frac{11\pi}{12}\bigr)=24\sqrt{2}\,e^{i11\pi/12}\n
\dfrac{z}{w}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)\bigr)=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\,e^{-i7\pi/12}\n
\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{8}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)\bigr)=\dfrac{1}{8}\,e^{-i\pi/6}

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