Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
(-1+i)^{20}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência (-1+i)^{20}.
Informações dadas:
  • O número complexo é (-1+i).
  • Deve-se elevar esse número à potência 20.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): usar o Teorema de De Moivre. Vou primeiro transformar o número complexo para a forma polar r(\cos\theta+i\sin\theta), onde:
r=\text{módulo do número}=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \theta=\text{argumento do número (ângulo)}.óúúâ
Aqui x=-1 e y=1.

Passo 3

Calcular o módulo r. Usando \;r=\sqrt{x^2+y^2}\; com x=-1 e y=1:
r=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Determinar o argumento \theta. Primeiro a razão \tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{-1}=-1. A tangente igual a -1 tem soluções \theta=\pm \dfrac{\pi}{4}+k\pi. Como o ponto (-1,1) está no segundo quadrante, o ângulo correto é
\theta=\dfrac{3\pi}{4}.
Portanto podemos escrever
-1+i = \sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr).

Passo 5

Apresentar o Teorema de De Moivre e explicar as variáveis. O Teorema de De Moivre diz que, para todo número real r\ge0, ângulo \theta e inteiro n,
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^n = r^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Aqui r é o módulo, \theta é o argumento, e n é o expoente inteiro.

Passo 6

Aplicar De Moivre com r=\sqrt{2}, \theta=\tfrac{3\pi}{4} e n=20:
(-1+i)^{20}=\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{20}\Bigl(\cos\bigl(20\cdot\tfrac{3\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(20\cdot\tfrac{3\pi}{4}\bigr)\Bigr).

Passo 7

Calcular \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{20}. Usando regras de potência,
\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{20}=(2^{1/2})^{20}=2^{20/2}=2^{10}=1024.

Passo 8

Calcular o ângulo 20\cdot\tfrac{3\pi}{4}:
20\cdot\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{60\pi}{4}=15\pi.
Agora avaliar \cos(15\pi) e \sin(15\pi). Para inteiros k vale \cos(k\pi)=(-1)^k e \sin(k\pi)=0. Como 15 é ímpar,
\cos(15\pi)=(-1)^{15}=-1,\qquad \sin(15\pi)=0.

Passo 9

Substituir os valores obtidos:
(-1+i)^{20}=1024\bigl(\cos(15\pi)+i\sin(15\pi)\bigr)=1024(-1+ i\cdot 0)=-1024.

Resposta

-1024

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