Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
(-1-i)^{8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência \,(-1-i)^{8}.
Informações dadas:
  • O número complexo é \,-1-i.
  • Precisamos elevar esse número à potência 8.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): usar o Teorema de De Moivre. Vou explicar o teorema com calma.
Teorema de De Moivre: se um número complexo é escrito em forma polar como
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
onde \,r\ge 0 é o módulo (distância até a origem) e \theta é o argumento (ângulo medido desde o eixo real positivo), então, para inteiro n,
z^{n} = r^{n}\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr).
O que cada símbolo significa:
  • \,r é o módulo: \,r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} para z=x+iy.
  • \theta é o argumento: \,\theta = \operatorname{atan2}(y,x) (atenção ao quadrante).
  • \,n é o expoente inteiro a que elevamos.
    A ideia: eleva-se o módulo à potência n e multiplica-se o ângulo por n. Isso evita expandir binomialmente passo a passo.

Passo 3

Converter o número \,-1-i para a forma polar (calcular módulo e argumento). Escrevendo \,z=-1-i com x=-1 e y=-1:
Cálculo do módulo:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Cálculo do argumento: \tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{-1}{-1}=1. Mas cuidado com o quadrante: x<0 e y<0 colocam o ponto no terceiro quadrante, onde o ângulo cujo tangente é 1 é \theta=\pi/4 somado a \pi, ou seja \theta=\pi+\pi/4=5\pi/4. Uma alternativa equivalente é usar o argumento negativo \theta=-3\pi/4 (mesma direção). Vou escolher \theta=-\dfrac{3\pi}{4} por ser direto para multiplicar por 8.
Portanto a forma polar escolhida é
-1-i = \sqrt{2}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)\bigr).

Passo 4

Aplicar o Teorema de De Moivre com n=8. Pelas fórmulas:
(-1-i)^{8} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{8}\Bigl(\cos\bigl(8\cdot(-\tfrac{3\pi}{4})\bigr)+i\sin\bigl(8\cdot(-\tfrac{3\pi}{4})\bigr)\Bigr).
Calcular cada parte separadamente (passo a passo para poder fazer sem calculadora):
  1. O módulo elevado:
\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{8} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{8} = 2^{8/2} = 2^{4} = 16.
  1. O ângulo multiplicado:
8\cdot\Bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\Bigr) = -6\pi.
Lembrando que funções trigonométricas são periódicas com período 2\pi, então \cos(-6\pi)=\cos(0)=1 e \sin(-6\pi)=\sin(0)=0.
Substituindo:
(-1-i)^{8} = 16\bigl(\cos(-6\pi)+i\sin(-6\pi)\bigr) = 16(1 + i\cdot 0) = 16.
Observação rápida: se em vez de \theta=-\tfrac{3\pi}{4} tivesse usado \theta=\tfrac{5\pi}{4}, obteria 8\cdot\tfrac{5\pi}{4}=10\pi, e \cos(10\pi)=1,\\ \sin(10\pi)=0, chegando ao mesmo resultado 16. Isso mostra consistência na escolha do argumento.

Passo 5

Resumo prático para a prova (receita curta):
  • Calcule o módulo \,r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Encontre o argumento \theta tomando cuidado com o quadrante.
  • Use De Moivre: z^{n}=r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta).
  • Simplifique \cos(n\theta) e \sin(n\theta) usando periodicidade 2\pi se necessário.
    Aplicando isso em (-1-i)^{8} obtém-se 16.

Resposta

16

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