Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número complexo é
. - Precisamos elevar esse número à potência
.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): usar o Teorema de De Moivre. Vou explicar o teorema com calma.
Teorema de De Moivre: se um número complexo é escrito em forma polar como
Teorema de De Moivre: se um número complexo é escrito em forma polar como
onde
é o módulo (distância até a origem) e
é o argumento (ângulo medido desde o eixo real positivo), então, para inteiro
,
O que cada símbolo significa:
-
é o módulo: para . -
é o argumento: (atenção ao quadrante). -
é o expoente inteiro a que elevamos.
A ideia: eleva-se o módulo à potênciae multiplica-se o ângulo por . Isso evita expandir binomialmente passo a passo.
Passo 3
Converter o número
para a forma polar (calcular módulo e argumento). Escrevendo
com
e
:
Cálculo do módulo:
Cálculo do argumento:
. Mas cuidado com o quadrante:
e
colocam o ponto no terceiro quadrante, onde o ângulo cujo tangente é
é
somado a
, ou seja
. Uma alternativa equivalente é usar o argumento negativo
(mesma direção). Vou escolher
por ser direto para multiplicar por
.
Portanto a forma polar escolhida é
Passo 4
Aplicar o Teorema de De Moivre com
. Pelas fórmulas:
Calcular cada parte separadamente (passo a passo para poder fazer sem calculadora):
- O módulo elevado:
- O ângulo multiplicado:
Lembrando que funções trigonométricas são periódicas com período
, então
e
.
Substituindo:
Observação rápida: se em vez de
tivesse usado
, obteria
, e
, chegando ao mesmo resultado
. Isso mostra consistência na escolha do argumento.
Passo 5
Resumo prático para a prova (receita curta):
- Calcule o módulo
. - Encontre o argumento
tomando cuidado com o quadrante. - Use De Moivre:
. - Simplifique
e usando periodicidade se necessário.
Aplicando isso emobtém-se .