Determine a precipitação média numa bacia hidrográfica, com base nos dados coletados em cinco pluviômetros, como se segue: \mathrm{h}_{1}=59,5 \mathrm{~mm}; \mathrm{h}_{2}=28,5 \mathrm{~mm}; \mathrm{h}_{3}=39,2 \mathrm{mm} ; \mathrm{h}_{4}=49,6 \mathrm{~mm} e \mathrm{h}_{5}=110,0 \mathrm{~mm}. As áreas de influência de cada pluviômetro são respectivamente: \mathrm{A}_{1}=67 \mathrm{ha}, \mathrm{A}_{2}=\mathrm{A}_{3}=\mathrm{A}_{1}+1 / 3 \times \mathrm{A}_{5} ; \mathrm{A}_{4}=\mathrm{A}_{5}=5 / 3 \times \mathrm{A}_{1}. Calcule a precipitação média na região pelos métodos da média aritmética e da média ponderada (método de Thiessen).

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • O enunciado pede: calcular a precipitação média na bacia por dois métodos:
    1. média aritmética simples; 2) média ponderada pelo método de Thiessen (peso = área de influência).
  • Dados das alturas pluviométricas:
    \mathrm{h}_{1}=59{,}5\\ \mathrm{mm}, \mathrm{h}_{2}=28{,}5\\ \mathrm{mm}, \mathrm{h}_{3}=39{,}2\\ \mathrm{mm}, \mathrm{h}_{4}=49{,}6\\ \mathrm{mm}, \mathrm{h}_{5}=110{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Relações entre as áreas de influência (em hectares):
    \mathrm{A}_{1}=67\\ \mathrm{ha};
    \mathrm{A}_{4}=\mathrm{A}_{5}=\dfrac{5}{3}\mathrm{A}_{1};
    \mathrm{A}_{2}=\mathrm{A}_{3}=\mathrm{A}_{1}+\dfrac{1}{3}\mathrm{A}_{5}.
A partir daqui vamos calcular passo a passo as duas médias.

Passo 2

Média aritmética: definição e aplicação prática.
  • Definição: a média aritmética simples de n valores \{h_i\} é
\overline{h}_{\text{arit}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} h_i.
  • Aqui n=5. Vamos somar as \mathrm{h}_i e dividir por 5.
Calculemos a soma:
\sum_{i=1}^{5} h_i = 59{,}5 + 28{,}5 + 39{,}2 + 49{,}6 + 110{,}0.
Fazendo as contas passo a passo:
59{,}5+28{,}5=88{,}0,
88{,}0+39{,}2=127{,}2,
127{,}2+49{,}6=176{,}8,
176{,}8+110{,}0=286{,}8.
Agora a média:
\overline{h}_{\text{arit}}=\frac{286{,}8}{5}=57{,}36\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Explicação didática do método de Thiessen (média ponderada).
  • Ideia: cada pluviômetro representa uma área (polígono de Thiessen). A precipitação média na bacia é a média ponderada das alturas, com peso igual à área de influência de cada pluviômetro.
  • Fórmula da média ponderada:
\overline{h}_{\text{Thiessen}}=\frac{\sum_{i=1}^{5} h_i A_i}{\sum_{i=1}^{5} A_i},
onde h_i é a precipitação do pluviômetro i e A_i a área que ele representa.
Antes de aplicar, precisamos determinar numericamete as áreas A_i a partir das relações dadas.

Passo 4

Cálculo explícito das áreas A_i a partir das relações fornecidas.
  • Dado \mathrm{A}_{1}=67\\ \mathrm{ha}.
  • Calcule \mathrm{A}_{4} e \mathrm{A}_{5}:
\mathrm{A}_{4}=\mathrm{A}_{5}=\frac{5}{3}\mathrm{A}_{1}=\frac{5}{3}\times 67=\frac{335}{3}\\ \mathrm{ha}\approx 111{,}666\ldots\\ \mathrm{ha}.
  • Calcule \mathrm{A}_{2} e \mathrm{A}_{3}:
\mathrm{A}_{2}=\mathrm{A}_{3}=\mathrm{A}_{1}+\frac{1}{3}\mathrm{A}_{5} =67+\frac{1}{3}\times\frac{335}{3}=67+\frac{335}{9}=\frac{938}{9}\\ \mathrm{ha}\approx 104{,}222\ldots\\ \mathrm{ha}.
Para referência, em decimais:
\mathrm{A}_{1}=67{,}000\\ \mathrm{ha},\quad \mathrm{A}_{2}=\mathrm{A}_{3}\approx104{,}222\\ \mathrm{ha},\quad \mathrm{A}_{4}=\mathrm{A}_{5}\approx111{,}667\\ \mathrm{ha}.

Passo 5

Cálculo da área total \sum A_i.
Somando as cinco áreas (usando valores fracionários ou decimais):
\sum_{i=1}^{5}A_i =67+\frac{938}{9}+\frac{938}{9}+\frac{335}{3}+\frac{335}{3}.
Colocando tudo em /9:
67=\frac{603}{9},\quad \frac{335}{3}=\frac{1005}{9},
\sum A_i=\frac{603+938+938+1005+1005}{9}=\frac{4489}{9}\\ \mathrm{ha}\approx 498{,}777\ldots\\ \mathrm{ha}.

Passo 6

Cálculo dos termos h_iA_i (cada produto altura × área), passo a passo.
  • Para i=1:
h_1A_1=59{,}5\times 67=3986{,}5\\ (\text{mm}\cdot\text{ha}).
  • Para i=2:
h_2A_2=28{,}5\times\frac{938}{9}=\frac{26733}{9}\approx2970{,}333\\ (\text{mm}\cdot\text{ha}).
  • Para i=3:
h_3A_3=39{,}2\times\frac{938}{9}=\frac{36769{,}6}{9}\approx4085{,}511\\ (\text{mm}\cdot\text{ha}).
  • Para i=4:
h_4A_4=49{,}6\times\frac{335}{3}=\frac{16616}{3}\approx5538{,}667\\ (\text{mm}\cdot\text{ha}).
  • Para i=5:
h_5A_5=110{,}0\times\frac{335}{3}=\frac{36850}{3}\approx12283{,}333\\ (\text{mm}\cdot\text{ha}).
Agora somamos esses produtos:
\sum_{i=1}^{5} h_iA_i \approx 3986{,}5 + 2970{,}333 + 4085{,}511 + 5538{,}667 + 12283{,}333.
Somando em etapas:
3986{,}5+2970{,}333=6956{,}833,
6956{,}833+4085{,}511=11042{,}344,
11042{,}344+5538{,}667=16581{,}011,
16581{,}011+12283{,}333=28864{,}344\\ (\text{mm}\cdot\text{ha})\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Cálculo da média ponderada (Thiessen) usando a soma dos produtos e a área total.
  • Fórmula:
\overline{h}_{\text{Thiessen}}=\frac{\sum_{i=1}^{5} h_i A_i}{\sum_{i=1}^{5} A_i}.
  • Substituindo valores:
\overline{h}_{\text{Thiessen}} \approx\frac{28864{,}344}{498{,}777\ldots} \approx 57{,}870\\ \mathrm{mm}.
(Se feito com as frações exatas obtemos o mesmo resultado com pequenas diferenças de arredondamento: \overline{h}_{\text{Thiessen}}\approx57{,}87\\ \mathrm{mm}.)

Passo 8

Interpretação final curta e incentivo.
  • Resultado prático: a média aritmética simples deu \,57{,}36\\ \mathrm{mm}\, e a média ponderada de Thiessen deu \,57{,}87\\ \mathrm{mm}.
  • Observação intuitiva: como o pluviômetro com maior chuva ( h_5=110{,}0\\ \mathrm{mm}) tem área relativamente grande, o método ponderado puxa a média ligeiramente para cima em relação à média simples.
  • Força aí — está indo bem! Esses passos (calcular áreas, multiplicar por h_i, somar e dividir pela área total) são exatamente o que pedem na prova quando aparecer Thiessen.

Resposta

Média aritmética: 57{,}36\\ \mathrm{mm}
Média ponderada (Thiessen): 57{,}87\\ \mathrm{mm}

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