Em uma fábrica de produtos cosméticos, glicerina está sendo aquecida no escoamento através de um tubo de diâmetro 25[\mathrm{~mm}] e 10[\mathrm{~m}] de comprimento. Com vazão mássica de 0,5[\mathrm{~kg} / \mathrm{s}], o fluxo
de glicerina entra no tubo a 25\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]. A superfície do tubo é mantida a uma temperatura na superfície constante de 140\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]. Determine a temperatura média de saída e a taxa total de transferência de calor para o tubo. Propriedades do fluido: c_{\mathrm{p}}=2.447[\mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})], \quad \mu=0,6582\left[\mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2}\right], k=0,2860[W /(m \cdot K)] e \operatorname{Pr}=5.631.

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados numéricos (peguei todos do enunciado):
    • Diâmetro do tubo: D=25\,[\mathrm{mm}]=0,025\,[\mathrm{m}].
    • Comprimento do tubo: L=10\,[\mathrm{m}].
    • Vazão mássica: \dot{m}=0,5\,[\mathrm{kg/s}].
    • Temperatura de entrada do fluido: T_{\mathrm{in}}=25\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right].
    • Temperatura da superfície do tubo (temperatura de parede constante): T_{s}=140\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right].
    • Propriedades do fluido (à temperatura fornecida):
      • c_{p}=2,447\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}],
      • \mu=0,6582\,[\mathrm{N\cdot s/m^{2}}] (viscosidade dinâmica),
      • k=0,2860\,[\mathrm{W/(m\cdot K)}],
      • \mathrm{Pr}=5,631.
  • O que a questão pede:
    1. Determinar a temperatura média de saída do fluido T_{\mathrm{out}}.
    2. Determinar a taxa total de transferência de calor \dot{Q} para o tubo.
Observação importante: o enunciado não fornece explicitamente a densidade \rho da glicerina. Para poder calcular o número de Reynolds (necessário para decidir o regime e a correlação de Nusselt), vou assumir uma densidade típica da glicerina à temperatura inicial T_{\mathrm{in}}=25\\ ^\circ\mathrm{C}:
\rho=1260\\ [\mathrm{kg/m^{3}}]\quad\text{(valor típico; há alguma incerteza se o autor usar outro valor).}íá
Se a densidade real for diferente, os resultados numéricos mudam um pouco; o procedimento permanece o mesmo.

Passo 2

Vou calcular a velocidade média do fluido e o número de Reynolds para identificar se o escoamento é laminar ou turbulento.
  • Área da seção interna do tubo:
A_c=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0,025)^{2}}{4}=4,909\times10^{-4}\\ [\mathrm{m^{2}}].
  • Velocidade média:
v=\frac{\dot{m}}{\rho A_c}=\frac{0,5}{1260\cdot 4,909\times10^{-4}}=0,809\\ [\mathrm{m/s}].
Expliquei: a velocidade média é obtida dividindo a vazão mássica pela massa por unidade de volume ( \rho) vezes a área; isto vem da relação \dot{m}=\rho A_c v.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}=\frac{1260\cdot 0,809\cdot 0,025}{0,6582}\approx 38,7.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 38,7\ll2300 — portanto o escoamento é laminar.

Passo 3

Verificar se a camada térmica se desenvolve dentro do comprimento do tubo (comprimento de entrada térmica), para saber se podemos usar a correlação de Nusselt para escoamento termicamente desenvolvido.
  • Comprimento de entrada térmica aproximado para escoamento laminar:
L_{\mathrm{th}}\approx 0,05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D.
Substituindo:
L_{\mathrm{th}}\approx 0,05\cdot 38{,}7 \cdot 5{,}631\cdot 0,025 \approx 0{,}27\\ [\mathrm{m}].
  • Comprimento de entrada hidrodinâmico aproximado:
L_{h}\approx 0,05\,\mathrm{Re}\,D \approx 0{,}05\cdot 38{,}7\cdot 0{,}025 \approx 0{,}048\\ [\mathrm{m}].
Comparando com L=10\,[\mathrm{m}]: ambos os comprimentos de entrada são muito menores que o comprimento do tubo. Portanto, depois de uma pequena região de entrada (centímetros a décimos de metro) o escoamento está hidrodinamicamente e termicamente desenvolvido ao longo da maior parte do tubo. Isso me permite usar a correlação clássica de Nusselt para escoamento laminar desenvolvido em tubo com temperatura de parede constante.

Passo 4

Introdução ao número de Nusselt e à correlação que vamos usar (aula rápida).
  • O número de Nusselt \mathrm{Nu} é uma medida adimensional da transferência convectiva de calor: ele relaciona o coeficiente convectivo h com as propriedades térmicas do fluido pela fórmula
\mathrm{Nu}=\frac{h D}{k},
onde:
  • h é o coeficiente de transferência convectiva [ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}],
  • D é o diâmetro [ \mathrm{m}],
  • k é a condutividade térmica do fluido [ \mathrm{W/(m\cdot K)}].
  • Para escoamento laminar totalmente desenvolvido (hidrodinâmico e termicamente) numa seção circular com temperatura de superfície constante, o valor de \mathrm{Nu} é constante e dado por:
\mathrm{Nu}=3{,}66.
Este é um resultado clássico da teoria de escoamento interno para condições desse tipo (corrente contínua, propriedades aproximadamente constantes).

Passo 5

Calcular h usando \mathrm{Nu}=3{,}66.
  • Primeiro:
\frac{k}{D}=\frac{0{,}2860}{0{,}025}=11{,}44\\ [\mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}].
  • Logo:
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}=3{,}66\cdot 11{,}44 \approx 41{,}87\\ [\mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}].
Expliquei: uma vez conhecido \mathrm{Nu} e k, o coeficiente convectivo h se obtém de \;h=\mathrm{Nu}\,k/D.

Passo 6

Montar o balanço de energia e obter a evolução da temperatura média ao longo do tubo (aula/conceito e dedução).
Considere um elemento de comprimento dx do tubo. A variação de energia térmica do fluido que atravessa esse elemento é igual ao calor convectado pela parede para o fluido nesse trecho. Fazendo o balanço de energia e dividindo por \dot{m}c_{p} obtém-se a equação diferencial para a temperatura média T_{m}(x):
\frac{dT_{m}}{dx}=\frac{hP}{\dot{m}c_{p}}\left(T_{s}-T_{m}\right),
onde P é o perímetro da seção (circunferência interna) P=\pi D.
Isto é uma equação diferencial linear de 1.º ordem cujo solução é:
T_{m}(x)=T_{s}+\left(T_{\mathrm{in}}-T_{s}\right)\exp\!\left(-\frac{hP\,x}{\dot{m}c_{p}}\right).
Para o comprimento total x=L temos a temperatura média de saída:
T_{\mathrm{out}}=T_{m}(L)=T_{s}+\left(T_{\mathrm{in}}-T_{s}\right)\exp\!\left(-\frac{hP\,L}{\dot{m}c_{p}}\right).
Explicação passo a passo: o termo \dfrac{hP}{\dot{m}c_{p}} tem dimensão de 1/comprimento; integrando essa taxa sobre x produz um decaimento exponencial da diferença T_{m}-T_{s}. Intuitivamente, quanto maior h e área de contato (proporcional a P L), mais rápido o fluido aproxima-se da temperatura da parede.

Passo 7

Calcular os termos numéricos da expressão para T_{\mathrm{out}}.
  • Perímetro interno:
P=\pi D=\pi\cdot 0{,}025=0{,}07854\\ [\mathrm{m}].
  • Área de troca térmica total (superfície interna):
A_{s}=P L=\pi D L=\pi\cdot 0{,}025\cdot 10=0{,}7854\\ [\mathrm{m^{2}}].
  • Produto \dot{m}c_{p}:
\dot{m}c_{p}=0{,}5\cdot 2{,}447=1{,}2235\\ [\mathrm{W/K}].
  • Produto hA_{s} (ou hP L):
hA_{s}=41{,}87\cdot 0{,}7854\approx 32{,}86\\ [\mathrm{W/K}].
  • Expoente:
\frac{hP L}{\dot{m}c_{p}}=\frac{hA_{s}}{\dot{m}c_{p}}=\frac{32{,}86}{1{,}2235}\approx 26{,}86.
  • Agora calcular T_{\mathrm{out}}:
T_{\mathrm{out}}=140+\left(25-140\right)\exp\!\left(-26{,}86\right).
Calculemos o exponencial: \exp(-26{,}86)\approx 2{,}14\times 10^{-12} (praticamente zero).
Portanto:
T_{\mathrm{out}}\approx 140 - 115\cdot 2{,}14\times10^{-12}\approx 140\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right].
Interpretação pedagógica: o expoente é grande porque o produto hA_{s} (capacidade de transferência de calor total da parede) é grande comparado com a capacidade térmica do fluido que atravessa o tubo ( \dot{m}c_{p}). Isso faz com que o fluido atinja praticamente a temperatura da parede antes de sair — o produto foi suficiente para “forçar” o fluido a quase igualar T_s.

Passo 8

Calcular a taxa total de transferência de calor \dot{Q}.
A maneira mais direta é usar o balanço energético global:
\dot{Q}=\dot{m}c_{p}\left(T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}}\right).
Como T_{\mathrm{out}} é praticamente T_{s}, podemos usar T_{\mathrm{out}}\approx 140:
\dot{Q}\approx 0{,}5\cdot 2{,}447\cdot(140-25)=0{,}5\cdot 2{,}447\cdot 115.
Calcule:
\dot{Q}\approx 0{,}5\cdot 281{,}405=140{,}7025\\ [\mathrm{W}]\approx 140{,}7\\ [\mathrm{W}].
Verificação alternativa (consistência): usando \dot{Q}=hA_{s}\left(T_{s}-T_{\mathrm{m,\,média}}\right)é daria o mesmo resultado se usássemos a média exponencial correta; aqui, com T_{\mathrm{out}}\approx T_s, o balanço pela vazão é a forma mais simples e robusta.

Resposta

T_{\mathrm{out}}\approx 140\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]
\dot{Q}\approx 140{,}7\\ [\mathrm{W}]

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