Em uma fábrica de produtos cosméticos, glicerina está sendo aquecida no escoamento através de um tubo de diâmetro
e
de comprimento. Com vazão mássica de
, o fluxo
de glicerina entra no tubo a
. A superfície do tubo é mantida a uma temperatura na superfície constante de
. Determine a temperatura média de saída e a taxa total de transferência de calor para o tubo. Propriedades do fluido:
,
e
.
de glicerina entra no tubo a
Passo 1
Vamos identificar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados numéricos (peguei todos do enunciado):
- Diâmetro do tubo:
. - Comprimento do tubo:
. - Vazão mássica:
. - Temperatura de entrada do fluido:
. - Temperatura da superfície do tubo (temperatura de parede constante):
. - Propriedades do fluido (à temperatura fornecida):
-
, -
(viscosidade dinâmica), -
, -
.
-
- Diâmetro do tubo:
-
O que a questão pede:
- Determinar a temperatura média de saída do fluido
. - Determinar a taxa total de transferência de calor
para o tubo.
- Determinar a temperatura média de saída do fluido
Observação importante: o enunciado não fornece explicitamente a densidade
da glicerina. Para poder calcular o número de Reynolds (necessário para decidir o regime e a correlação de Nusselt), vou assumir uma densidade típica da glicerina à temperatura inicial
:
Se a densidade real for diferente, os resultados numéricos mudam um pouco; o procedimento permanece o mesmo.
Passo 2
Vou calcular a velocidade média do fluido e o número de Reynolds para identificar se o escoamento é laminar ou turbulento.
- Área da seção interna do tubo:
- Velocidade média:
Expliquei: a velocidade média é obtida dividindo a vazão mássica pela massa por unidade de volume (
) vezes a área; isto vem da relação
.
- Número de Reynolds:
Interpretação:
— portanto o escoamento é laminar.
Passo 3
Verificar se a camada térmica se desenvolve dentro do comprimento do tubo (comprimento de entrada térmica), para saber se podemos usar a correlação de Nusselt para escoamento termicamente desenvolvido.
- Comprimento de entrada térmica aproximado para escoamento laminar:
Substituindo:
- Comprimento de entrada hidrodinâmico aproximado:
Comparando com
: ambos os comprimentos de entrada são muito menores que o comprimento do tubo. Portanto, depois de uma pequena região de entrada (centímetros a décimos de metro) o escoamento está hidrodinamicamente e termicamente desenvolvido ao longo da maior parte do tubo. Isso me permite usar a correlação clássica de Nusselt para escoamento laminar desenvolvido em tubo com temperatura de parede constante.
Passo 4
Introdução ao número de Nusselt e à correlação que vamos usar (aula rápida).
- O número de Nusselt
é uma medida adimensional da transferência convectiva de calor: ele relaciona o coeficiente convectivo com as propriedades térmicas do fluido pela fórmula
onde:
-
é o coeficiente de transferência convectiva [ ], -
é o diâmetro [ ], -
é a condutividade térmica do fluido [ ]. -
Para escoamento laminar totalmente desenvolvido (hidrodinâmico e termicamente) numa seção circular com temperatura de superfície constante, o valor de
é constante e dado por:
Este é um resultado clássico da teoria de escoamento interno para condições desse tipo (corrente contínua, propriedades aproximadamente constantes).
Passo 5
Calcular
usando
.
- Primeiro:
- Logo:
Expliquei: uma vez conhecido
e
, o coeficiente convectivo
se obtém de
.
Passo 6
Montar o balanço de energia e obter a evolução da temperatura média ao longo do tubo (aula/conceito e dedução).
Considere um elemento de comprimento
do tubo. A variação de energia térmica do fluido que atravessa esse elemento é igual ao calor convectado pela parede para o fluido nesse trecho. Fazendo o balanço de energia e dividindo por
obtém-se a equação diferencial para a temperatura média
:
onde
é o perímetro da seção (circunferência interna)
.
Isto é uma equação diferencial linear de 1.º ordem cujo solução é:
Para o comprimento total
temos a temperatura média de saída:
Explicação passo a passo: o termo
tem dimensão de 1/comprimento; integrando essa taxa sobre
produz um decaimento exponencial da diferença
. Intuitivamente, quanto maior
e área de contato (proporcional a
), mais rápido o fluido aproxima-se da temperatura da parede.
Passo 7
Calcular os termos numéricos da expressão para
.
- Perímetro interno:
- Área de troca térmica total (superfície interna):
- Produto
:
- Produto
(ou ):
- Expoente:
- Agora calcular
:
Calculemos o exponencial:
(praticamente zero).
Portanto:
Portanto:
Interpretação pedagógica: o expoente é grande porque o produto
(capacidade de transferência de calor total da parede) é grande comparado com a capacidade térmica do fluido que atravessa o tubo (
). Isso faz com que o fluido atinja praticamente a temperatura da parede antes de sair — o produto foi suficiente para “forçar” o fluido a quase igualar
.
Passo 8
Calcular a taxa total de transferência de calor
.
A maneira mais direta é usar o balanço energético global:
Como
é praticamente
, podemos usar
:
Calcule:
Verificação alternativa (consistência): usando
daria o mesmo resultado se usássemos a média exponencial correta; aqui, com
, o balanço pela vazão é a forma mais simples e robusta.