Determine f^{\prime}(x) (derivada com respeito a x ) das equações, use a regra do produto e a regra do quociente se necessario.
f(x)=3 x^{8}+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada de f em relação a x para a função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x)=3x^{8}+2x+1.
  • Pede-se f^{\prime}(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma bem direta):
  • Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se f(x)=g(x)+h(x) então f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+h^{\prime}(x).
  • Regra do fator constante: se g(x)=c\cdot u(x) com constante c, então g^{\prime}(x)=c\cdot u^{\prime}(x).
  • Regra da potência (power rule): para u(x)=x^{n} com n número real, vale
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Isto significa: pega o expoente n, multiplica pelo coeficiente, e diminui o expoente em 1.
  • Derivada de função linear: \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0 para constante c.

Passo 3

Aplicando a linearidade: derivamos termo a termo.
f(x)=3x^{8}+2x+1\quad\Rightarrow\quad f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{8}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr).

Passo 4

Derivada do primeiro termo \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{8}\bigr):
  • Pelo fator constante, 3 sai da derivada: \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{8}\bigr)=3\cdot\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{8}\bigr).
  • Pela regra da potência, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{8}\bigr)=8x^{7}.
    Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{8}\bigr)=3\cdot 8x^{7}=24x^{7}.

Passo 5

Derivada do segundo termo \dfrac{d}{dx}\bigl(2x\bigr):
  • Novamente fator constante: 2\cdot\dfrac{d}{dx}(x).
  • E \dfrac{d}{dx}(x)=1.
    Logo
\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2\cdot 1=2.

Passo 6

Derivada do terceiro termo \dfrac{d}{dx}(1):
  • Como 1 é constante, sua derivada é 0:
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 7

Somando os resultados parciais obtidos nos passos anteriores:
f^{\prime}(x)=24x^{7}+2+0=24x^{7}+2.

Resposta

24x^{7}+2

Exercícios relacionados