Determine
(derivada com respeito a x ) das equações, use a regra do produto e a regra do quociente se necessario.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada de
em relação a
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma razão (quociente) entre o polinômio
(numerador) e a expressão (denominador). - O objetivo é calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos usar a regra do quociente. Vou explicar ela com calma: se uma função
é escrita como o quociente de duas funções
e
,
então a derivada
é dada por
Aqui cada símbolo significa:
-
= numerador, -
= denominador, -
= derivada de em relação a , -
= derivada de em relação a .
A regra do quociente é um caso direto da regra do produto combinada com a regra da cadeia; ela garante que ao derivar um quociente devemos “derivar o numerador mantendo o denominador”, menos “o numerador vezes a derivada do denominador”, tudo dividido pelo quadrado do denominador. Agora aplicamos isso ao nosso
.
Passo 3
Identifico
e
e calculo as derivadas de cada um:
Derivo termo a termo (regra de potência:
):
(Explicando:
,
, e a constante tem derivada
.)
Passo 4
Agora aplico a fórmula do quociente substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Vou expandir cuidadosamente o numerador. Primeiro multiplico
:
Calculando termo a termo:
Somando:
Passo 6
Agora subtraio o termo
(pois
) e faço a soma algébrica:
Distribuindo o sinal de menos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Portanto a derivada simplificada fica
Observação rápida:
está definida para todos os
tais que
, ou seja para
.