Determine f^{\prime}(x) (derivada com respeito a x ) das equações, use a regra do produto e a regra do quociente se necessario.
f(x)=\frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de f em relação a x. A função dada é
f(x)=\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{x-5}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão (quociente) entre o polinômio x^{3}+2x^{2}-1 (numerador) e a expressão x-5 (denominador).
  • O objetivo é calcular f^{\prime}(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente. Vou explicar ela com calma: se uma função f é escrita como o quociente de duas funções u(x) e v(x),
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então a derivada f^{\prime}(x) é dada por
f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)\,v(x)-u(x)\,v^{\prime}(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) = numerador,
  • v(x) = denominador,
  • u^{\prime}(x) = derivada de u em relação a x,
  • v^{\prime}(x) = derivada de v em relação a x.
A regra do quociente é um caso direto da regra do produto combinada com a regra da cadeia; ela garante que ao derivar um quociente devemos “derivar o numerador mantendo o denominador”, menos “o numerador vezes a derivada do denominador”, tudo dividido pelo quadrado do denominador. Agora aplicamos isso ao nosso f.

Passo 3

Identifico u e v e calculo as derivadas de cada um:
u(x)=x^{3}+2x^{2}-1, \qquad v(x)=x-5.
Derivo termo a termo (regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}):
u^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-1\bigr) =3x^{2}+4x+0=3x^{2}+4x,
v^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-5\bigr)=1-0=1.
(Explicando: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, \dfrac{d}{dx}2x^{2}=2\cdot 2x=4x, e a constante tem derivada 0.)

Passo 4

Agora aplico a fórmula do quociente substituindo u, v, u^{\prime} e v^{\prime}:
f^{\prime}(x)=\frac{\bigl(3x^{2}+4x\bigr)\,(x-5)-\bigl(x^{3}+2x^{2}-1\bigr)\cdot 1}{(x-5)^{2}}.

Passo 5

Vou expandir cuidadosamente o numerador. Primeiro multiplico \bigl(3x^{2}+4x\bigr)(x-5):
\bigl(3x^{2}+4x\bigr)(x-5)=3x^{2}\cdot x+3x^{2}\cdot(-5)+4x\cdot x+4x\cdot(-5).
Calculando termo a termo:
3x^{2}\cdot x=3x^{3},\quad 3x^{2}\cdot(-5)=-15x^{2},\quad 4x\cdot x=4x^{2},\quad 4x\cdot(-5)=-20x.
Somando:
\bigl(3x^{2}+4x\bigr)(x-5)=3x^{3}-15x^{2}+4x^{2}-20x=3x^{3}-11x^{2}-20x.

Passo 6

Agora subtraio o termo \bigl(x^{3}+2x^{2}-1\bigr) (pois v^{\prime}=1) e faço a soma algébrica:
\text{numerador}= \bigl(3x^{3}-11x^{2}-20x\bigr)-\bigl(x^{3}+2x^{2}-1\bigr).
Distribuindo o sinal de menos:
\text{numerador}=3x^{3}-11x^{2}-20x-x^{3}-2x^{2}+1.
Agrupando termos semelhantes:
\text{numerador}=(3x^{3}-x^{3})+(-11x^{2}-2x^{2})+(-20x)+1 =2x^{3}-13x^{2}-20x+1.

Passo 7

Portanto a derivada simplificada fica
f^{\prime}(x)=\frac{2x^{3}-13x^{2}-20x+1}{(x-5)^{2}}.
Observação rápida: f^{\prime}(x) está definida para todos os x tais que (x-5)^{2}\neq 0, ou seja para x\neq 5.

Resposta

f^{\prime}(x)=\frac{2x^{3}-13x^{2}-20x+1}{(x-5)^{2}}

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