Calcule os limites sem utilizar a regra do L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+3 x-1}{2 x^{2}+x+1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+3x-1}{2x^{2}+x+1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é o polinômio x^{3}+3x-1.
  • O denominador é o polinômio 2x^{2}+x+1.
  • O ponto de interesse é x=1.
  • O objetivo é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Calcular o valor do numerador no ponto x=1. Substituir x=1 em x^{3}+3x-1:
1^{3}+3\cdot1-1 = 1+3-1 = 3.

Passo 3

Calcular o valor do denominador no ponto x=1. Substituir x=1 em 2x^{2}+x+1:
2\cdot1^{2}+1+1 = 2+1+1 = 4.

Passo 4

Explicar por que podemos simplesmente substituir: polinômios são funções contínuas em todo ponto real. Isso significa que, para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x) = p(a).
Além disso, se f e g têm limites finitos em a e \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, vale a propriedade dos limites
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}.
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios, logo seus limites ao aproximar x de 1 são os valores que acabamos de calcular. Como o limite do denominador é diferente de zero ( 4\neq 0), não há indeterminação do tipo 0/0 e a divisão dos limites é válida.

Passo 5

Aplicar a propriedade: como \lim_{x\to1} (x^{3}+3x-1)=3 e \lim_{x\to1} (2x^{2}+x+1)=4 com denominator não nulo, então
\lim_{x\to1} \frac{x^{3}+3x-1}{2x^{2}+x+1} = \frac{3}{4}.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (útil na prova): sempre que encontrar um quociente de polinômios, primeiro calcule os valores no ponto. Se o denominador não for zero, a resposta é a divisão dos valores. Se der 0/0, aí sim será preciso manipular (fatorar, simplificar, etc.). Exemplo: \lim_{x\to1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1} 0/0 e precisa fatoração; já \lim_{x\to1}\dfrac{x^{3}+3x-1}{2x^{2}+x+1} não dá indeterminação e é direto.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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