Determine
(derivada com respeito a x ) das equações, use a regra do produto e a regra do quociente se necessario.
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a derivada em relação a
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é a soma de três termos:
, e . - Há um termo com divisão por
, portanto a função (e sua derivada) só estão definidas para . - A tarefa é encontrar
. O enunciado menciona usar regra do produto e do quociente se necessário, mas isso é uma indicação — não uma obrigação caso outra regra mais simples sirva.
Passo 2
Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: se
é constante e função, . - Regra da potência (power rule): para
com qualquer número real,
Aqui
é o expoente e
é a variável; a regra diz que se diminui o expoente em
e multiplica por ele.
Exemplos rápidos para fixar:
Exemplos rápidos para fixar:
-
(aplicando ). -
(aplicando ). -
(aplicando ).
Observação sobre termos como: é conveniente reescrevê-los como potências negativas: , daí aplicar a regra da potência com a regra do fator constante.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Reescrevendo com constante: . Aplicando regra do fator constante e regra da potência:
Reescrevendo com constante:
Explicação: multiplica-se por
(o expoente) e diminui-se o expoente para
.
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Usando regra da potência com ou o fato que derivada de uma função linear
é
:
Usando regra da potência com
Explicação:
e aplicando
com
resulta em
.
Passo 5
Derivada do terceiro termo
.
Método mais simples: reescrever como potência negativa e aplicar fator constante + regra da potência.
Método mais simples: reescrever como potência negativa e aplicar fator constante + regra da potência.
Aplicando a regra:
Voltando para forma de fração:
Observação didática (alternativa usando a regra do quociente, para treinar a regra que o enunciado citou):
Se usar a regra do quociente em com
e
,
Se usar a regra do quociente em
Aqui
e
. Então
que concorda com o resultado anterior.
Passo 6
Juntando todas as derivadas usando a regra da soma:
Substituindo os resultados obtidos:
Se quiser uma única fração com denominador
, coloca-se todos sobre
:
Lembrando que todas essas formas são equivalentes e válidas para
.
Passo 7
Verificação rápida e observação final:
- Para
a derivada está bem definida. - Se na prova tiver tempo e o examinador pedir explicitamente, pode-se apresentar tanto a forma mista
quanto a fração única .
Força — você já fez a parte mais chata: reconhecer como aplicar a regra da potência e reescrever frações como potências negativas. Agora é só praticar mais uns exercícios parecidos!