Determine f^{\prime}(x) (derivada com respeito a x ) das equações, use a regra do produto e a regra do quociente se necessario.
f(x)=-x^{2}+x+\frac{3}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a derivada em relação a x:
f(x) = -x^{2} + x + \frac{3}{x^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é a soma de três termos: -x^{2}, x e \dfrac{3}{x^{2}}.
  • Há um termo com divisão por x^{2}, portanto a função (e sua derivada) só estão definidas para x \neq 0.
  • A tarefa é encontrar f'(x). O enunciado menciona usar regra do produto e do quociente se necessário, mas isso é uma indicação — não uma obrigação caso outra regra mais simples sirva.

Passo 2

Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se F(x)=U(x)+V(x) então F'(x)=U'(x)+V'(x).
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) função, (c\cdot g(x))' = c\cdot g'(x).
  • Regra da potência (power rule): para g(x)=x^{n} com n qualquer número real,
g'(x)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável; a regra diz que se diminui o expoente em 1 e multiplica por ele.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x (aplicando n=2).
  • \dfrac{d}{dx}x^{1}=1 (aplicando n=1).
  • \dfrac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3} (aplicando n=-2).
    Observação sobre termos como \dfrac{3}{x^{2}}: é conveniente reescrevê-los como potências negativas: \dfrac{3}{x^{2}}=3x^{-2}, daí aplicar a regra da potência com a regra do fator constante.

Passo 3

Derivada do primeiro termo -x^{2}.
Reescrevendo com constante: -x^{2} = (-1)\cdot x^{2}. Aplicando regra do fator constante e regra da potência:
\frac{d}{dx}\big(-x^{2}\big) = -1\cdot \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big) = -1\cdot (2x) = -2x.
Explicação: multiplica-se por 2 (o expoente) e diminui-se o expoente para 1.

Passo 4

Derivada do segundo termo x.
Usando regra da potência com n=1 ou o fato que derivada de uma função linear ax é a:
\frac{d}{dx}(x)=1.
Explicação: x=x^{1} e aplicando n x^{n-1} com n=1 resulta em 1\cdot x^{0}=1.

Passo 5

Derivada do terceiro termo \dfrac{3}{x^{2}}.
Método mais simples: reescrever como potência negativa e aplicar fator constante + regra da potência.
\frac{3}{x^{2}} = 3x^{-2}.
Aplicando a regra:
\frac{d}{dx}\big(3x^{-2}\big) = 3\cdot \frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big) = 3\cdot(-2)x^{-3} = -6x^{-3}.
Voltando para forma de fração:
-6x^{-3} = -\frac{6}{x^{3}}.
Observação didática (alternativa usando a regra do quociente, para treinar a regra que o enunciado citou):
Se usar a regra do quociente em \dfrac{3}{x^{2}}=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=3 e v(x)=x^{2},
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v - u v'}{v^{2}}.
Aqui u'=0 e v'=2x. Então
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{0\cdot x^{2} - 3\cdot 2x}{(x^{2})^{2}} = \frac{-6x}{x^{4}} = -\frac{6}{x^{3}},
que concorda com o resultado anterior.

Passo 6

Juntando todas as derivadas usando a regra da soma:
f'(x) = \frac{d}{dx}\big(-x^{2}\big) + \frac{d}{dx}\big(x\big) + \frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{x^{2}}\right).
Substituindo os resultados obtidos:
f'(x) = -2x + 1 - \frac{6}{x^{3}}.
Se quiser uma única fração com denominador x^{3}, coloca-se todos sobre x^{3}:
-2x + 1 - \frac{6}{x^{3}} = \frac{-2x\cdot x^{3} + 1\cdot x^{3} - 6}{x^{3}} = \frac{-2x^{4} + x^{3} - 6}{x^{3}}.
Lembrando que todas essas formas são equivalentes e válidas para x\neq 0.

Passo 7

Verificação rápida e observação final:
  • Para x\neq 0 a derivada está bem definida.
  • Se na prova tiver tempo e o examinador pedir explicitamente, pode-se apresentar tanto a forma mista -2x + 1 - \dfrac{6}{x^{3}} quanto a fração única \dfrac{-2x^{4} + x^{3} - 6}{x^{3}}.
    Força — você já fez a parte mais chata: reconhecer como aplicar a regra da potência e reescrever frações como potências negativas. Agora é só praticar mais uns exercícios parecidos!

Resposta

-2x + 1 - \dfrac{6}{x^{3}}

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