Determine f^{\prime}(x) para f(x) igual à expressão dada.
\left(e^{4 x}-5\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(e^{4x} - 5\bigr)^{3}.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivar uma função composta f(x)=h\bigl(g(x)\bigr).

Passo 2

Identificamos as funções interna e externa:
g(x) = e^{4x} - 5, \quad h(u) = u^{3}.
As derivadas são
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}-5\bigr) = 4e^{4x}, \quad h'(u) = \frac{d}{du}\bigl(u^{3}\bigr) = 3u^{2}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x) = h'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) = 3\bigl(g(x)\bigr)^{2}\cdot\bigl(4e^{4x}\bigr) = 12\,e^{4x}\bigl(e^{4x}-5\bigr)^{2}.

Resposta

f'(x) = 12\,e^{4x}\bigl(e^{4x}-5\bigr)^{2}.

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