Determine f^{\prime}(x) para f(x) igual à expressão dada.
\sqrt{1+e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{1+e^{2x}}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia: primeiro identificamos a função interna e depois a externa.

Passo 2

Defina a função interna
u(x)=1+e^{2x},
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{1/2}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{1}{2}\,u(x)^{-1/2}\cdot u'(x).

Passo 3

Calcule a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1+e^{2x}\bigr)=2e^{2x}.

Passo 4

Substitua u(x) e u'(x) em f'(x):
f'(x)=\frac{1}{2}(1+e^{2x})^{-1/2}\cdot2e^{2x}
f'(x)=\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}.

Exercícios relacionados