Determine f^{\prime}(x), onde a função f dada por:
f(x)=x^{6}-3 x^{4}+x-10

Passo 1

O enunciado pede que eu determine f^{\prime}(x), a derivada da função
f(x)=x^{6}-3x^{4}+x-10.
Informações dadas:
  • A função é um polinômio com quatro termos: x^{6}, -3x^{4}, x e -10.
  • A tarefa é calcular a derivada f^{\prime}(x) em termos de x.

Passo 2

Primeiro, o que é derivada em termos simples? A derivada de uma função num ponto mede a taxa de variação instantânea dela — intuitivamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico naquele ponto. A definição formal é
f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Essa definição é a base, mas para polinômios usamos regras prontas (que seguem dessa definição) para agilizar os cálculos.

Passo 3

Regra mais importante aqui: a regra da potência (para n inteiro positivo). Para g(x)=x^{n} vale
g^{\prime}(x)=n x^{n-1}.
Breve justificativa (intuitiva e curta): usando a definição da derivada e o binômio de Newton para expandir (x+h)^{n}, os termos que não contêm h cancelam com g(x), sobra um fator h que é comum no numerador; ao dividir por h e fazer h\to0, o único termo que permanece é n x^{n-1}. Essa é a razão pela qual a fórmula funciona.

Passo 4

Outra regra útil: a derivada é linear. Ou seja, para constantes a,b e funções u(x),v(x),
\bigl(a\,u(x)+b\,v(x)\bigr)^{\prime}=a\,u^{\prime}(x)+b\,v^{\prime}(x).
Também regras rápidas que usarei:
  • A derivada de uma constante c é zero: \dfrac{d}{dx}c=0.
  • A derivada de x é 1: \dfrac{d}{dx}x=1.

Passo 5

Agora aplico as regras termo a termo ao polinômio f(x)=x^{6}-3x^{4}+x-10.
  • Para x^{6}, pela regra da potência com n=6,
\frac{d}{dx}x^{6}=6x^{5}.
  • Para -3x^{4}, uso a linearidade: é -3 vezes a derivada de x^{4}. Pela regra da potência com n=4,
\frac{d}{dx}(-3x^{4})=-3\cdot\frac{d}{dx}x^{4}=-3\cdot(4x^{3})=-12x^{3}.
  • Para x,
\frac{d}{dx}x=1.
  • Para -10 (constante),
\frac{d}{dx}(-10)=0.

Passo 6

Somando os resultados termo a termo, pela linearidade:
f^{\prime}(x)=6x^{5}-12x^{3}+1+0.
Simplificando:
f^{\prime}(x)=6x^{5}-12x^{3}+1.

Resposta

f^{\prime}(x)=6x^{5}-12x^{3}+1

Exercícios relacionados