Determine
, onde a função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine
, a derivada da função
Informações dadas:
- A função é um polinômio com quatro termos:
, , e . - A tarefa é calcular a derivada
em termos de .
Passo 2
Primeiro, o que é derivada em termos simples? A derivada de uma função num ponto mede a taxa de variação instantânea dela — intuitivamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico naquele ponto. A definição formal é
Essa definição é a base, mas para polinômios usamos regras prontas (que seguem dessa definição) para agilizar os cálculos.
Passo 3
Regra mais importante aqui: a regra da potência (para
inteiro positivo). Para
vale
Breve justificativa (intuitiva e curta): usando a definição da derivada e o binômio de Newton para expandir
, os termos que não contêm
cancelam com
, sobra um fator
que é comum no numerador; ao dividir por
e fazer
, o único termo que permanece é
. Essa é a razão pela qual a fórmula funciona.
Passo 4
Outra regra útil: a derivada é linear. Ou seja, para constantes
e funções
,
Também regras rápidas que usarei:
- A derivada de uma constante
é zero: . - A derivada de
é : .
Passo 5
Agora aplico as regras termo a termo ao polinômio
.
- Para
, pela regra da potência com ,
- Para
, uso a linearidade: é vezes a derivada de . Pela regra da potência com ,
- Para
,
- Para
(constante),
Passo 6
Somando os resultados termo a termo, pela linearidade:
Simplificando: