Determine a primitiva ou antiderivada mais geral das funções abaixo
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (antiderivada) mais geral da função
.
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função está definida para
(porque há divisão por ). - A resposta deve ser a família de todas as funções
tais que .
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (sem formalismos pesados): integrar é a operação inversa de derivar. Duas propriedades úteis e simples:
Aqui
é uma constante e
são funções. Vamos aplicar essas propriedades termo a termo em
.
Passo 3
Integração do primeiro termo:
.
Regra usada: a primitiva de uma constante
é
(pois
). Portanto
Expliquei o porquê: derivando
volta-se para
.
Passo 4
Integração do segundo termo:
.
Primeiro fatoramos a constante:
.
Fórmula fundamental: a primitiva de é
, isto é,
Fórmula fundamental: a primitiva de
A barra de valor absoluto aparece porque
só está definido para
, e
funciona tanto para
quanto para
(lembrando que a função original não existe em
). Assim
Verificação rápida da derivada:
, logo
, que é o termo original.
Passo 5
Juntando os dois resultados e acrescentando a constante de integração geral
:
Comentário sobre domínio: esta expressão é válida para
. Em problemas rigorosos às vezes permitem constantes diferentes em cada componente conectada do domínio
e
; usar
com um único
já fornece a família mais geral usual de primitivas.
Passo 6
Verificação final (diferenciação) para garantir que
:
Somando:
. Está correto.