Determine a primitiva ou antiderivada mais geral das funções abaixo
g(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{x}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) mais geral da função g(x)=\tfrac{1}{2}-\dfrac{2}{x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função está definida para x\neq0 (porque há divisão por x).
  • A resposta deve ser a família de todas as funções G(x) tais que G'(x)=g(x).

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (sem formalismos pesados): integrar é a operação inversa de derivar. Duas propriedades úteis e simples:
\int\bigl(a\cdot f(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx, \qquad \int\bigl(f(x)+h(x)\bigr)\,dx = \int f(x)\,dx + \int h(x)\,dx.
Aqui a é uma constante e f,h são funções. Vamos aplicar essas propriedades termo a termo em g(x).

Passo 3

Integração do primeiro termo: \displaystyle\int \tfrac{1}{2}\,dx.
Regra usada: a primitiva de uma constante a é a x (pois \dfrac{d}{dx}(a x)=a). Portanto
\int \tfrac{1}{2}\,dx = \tfrac{1}{2}x.
Expliquei o porquê: derivando \tfrac{1}{2}x volta-se para \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Integração do segundo termo: \displaystyle\int \left(-\dfrac{2}{x}\right)\,dx.
Primeiro fatoramos a constante: -2\int \dfrac{1}{x}\,dx.
Fórmula fundamental: a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln\lvert x\rvert, isto é,
\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.
A barra de valor absoluto aparece porque \ln x só está definido para x>0, e \ln\lvert x\rvert funciona tanto para x>0 quanto para x<0 (lembrando que a função original não existe em x=0). Assim
-2\int \dfrac{1}{x}\,dx = -2\ln\lvert x\rvert.
Verificação rápida da derivada: \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln\lvert x\rvert\bigr)=\dfrac{1}{x}, logo \dfrac{d}{dx}\bigl(-2\ln\lvert x\rvert\bigr)=-\dfrac{2}{x}, que é o termo original.

Passo 5

Juntando os dois resultados e acrescentando a constante de integração geral C:
G(x)=\tfrac{1}{2}x - 2\ln\lvert x\rvert + C.
Comentário sobre domínio: esta expressão é válida para x\neq0. Em problemas rigorosos às vezes permitem constantes diferentes em cada componente conectada do domínio (-\infty,0) e (0,\infty); usar \ln\lvert x\rvert com um único C já fornece a família mais geral usual de primitivas.

Passo 6

Verificação final (diferenciação) para garantir que G'(x)=g(x):
\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{2}x\bigr)=\tfrac{1}{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-2\ln\lvert x\rvert\bigr)=-\dfrac{2}{x},\qquad \frac{d}{dx}C=0.
Somando: G'(x)=\tfrac{1}{2}-\dfrac{2}{x}=g(x). Está correto.

Resposta

\tfrac{1}{2}x - 2\ln\lvert x\rvert + C

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