Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que \lim _{x \rightarrow 0}\left(\sqrt{x^{3}+x^{2}}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite e justificar usando o Teorema do Confronto:
\lim_{x\to 0}\left(\sqrt{x^{3}+x^{2}}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função considerada é f(x)=\left(\sqrt{x^{3}+x^{2}}\right)\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right).
  • O limite é quando x tende a 0 (por ambos os lados).
  • Há uma raiz \sqrt{x^{3}+x^{2}} e uma função trigonométrica \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right) que oscila rapidamente quando x\to 0.

Passo 2

Primeiro, vejo se a expressão dentro da raiz é não negativa perto de 0, para que tudo esteja bem definido:
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1).
Para x suficientemente próximo de 0 (por exemplo, |x|<\tfrac{1}{2}), tem-se x+1>0. Portanto, perto de 0 vale
\sqrt{x^{3}+x^{2}}=\sqrt{x^{2}(x+1)}=|x|\sqrt{x+1},
ou seja, a raiz é bem definida e é do tipo constante multiplicada por |x|.

Passo 3

Vou enunciar o Teorema do Confronto (Squeeze): se existem funções g(x), f(x) e h(x) tais que, numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), vale
g(x)\le f(x)\le h(x)
e se
\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L,
então
\lim_{x\to a}f(x)=L.
A ideia será encontrar duas funções que “convergem para o mesmo limite” e que englobem a nossa função.

Passo 4

Usarei a desigualdade conhecida da função seno:
-1\le \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\le 1\quad\text{para todo }x\neq 0.
Como, perto de 0, \sqrt{x^{3}+x^{2}}\ge 0, multiplico essa desigualdade por \sqrt{x^{3}+x^{2}} (quantidade não negativa) e obtenho:
-\sqrt{x^{3}+x^{2}}\le \left(\sqrt{x^{3}+x^{2}}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\le \sqrt{x^{3}+x^{2}}.
Portanto a função que queremos está “confinada” entre -\sqrt{x^{3}+x^{2}} e \sqrt{x^{3}+x^{2}}.

Passo 5

Agora calculo o limite das funções que constringem f(x). Usando a fatoração do Passo 2:
\sqrt{x^{3}+x^{2}}=|x|\sqrt{x+1}.
Quando x\to 0 temos |x|\to 0 e \sqrt{x+1}\to 1. Logo
\lim_{x\to 0}\sqrt{x^{3}+x^{2}}=\lim_{x\to 0}|x|\sqrt{x+1}=0\cdot 1=0.
Do mesmo modo,
\lim_{x\to 0}-\sqrt{x^{3}+x^{2}}=0.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto às desigualdades do Passo 4, com as funções limite calculadas no Passo 5, concluo que
\lim_{x\to 0}\left(\sqrt{x^{3}+x^{2}}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)=0.
Intuitivamente: a raiz tende a 0 rápido o bastante para anular as oscilações do seno (que ficam entre -1 e 1).

Resposta

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