Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite e justificar usando o Teorema do Confronto:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função considerada é
. - O limite é quando
tende a (por ambos os lados). - Há uma raiz
e uma função trigonométrica que oscila rapidamente quando .
Passo 2
Primeiro, vejo se a expressão dentro da raiz é não negativa perto de
, para que tudo esteja bem definido:
Para
suficientemente próximo de
(por exemplo,
), tem-se
. Portanto, perto de
vale
ou seja, a raiz é bem definida e é do tipo constante multiplicada por
.
Passo 3
Vou enunciar o Teorema do Confronto (Squeeze): se existem funções
,
e
tais que, numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), vale
e se
então
A ideia será encontrar duas funções que “convergem para o mesmo limite” e que englobem a nossa função.
Passo 4
Usarei a desigualdade conhecida da função seno:
Como, perto de
,
, multiplico essa desigualdade por
(quantidade não negativa) e obtenho:
Portanto a função que queremos está “confinada” entre
e
.
Passo 5
Agora calculo o limite das funções que constringem
. Usando a fatoração do Passo 2:
Quando
temos
e
. Logo
Do mesmo modo,
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto às desigualdades do Passo 4, com as funções limite calculadas no Passo 5, concluo que
Intuitivamente: a raiz tende a
rápido o bastante para anular as oscilações do seno (que ficam entre
e
).