Use o Teorema do Confronto para mostrar que
.
Passo 1
O problema pede para calcular o seguinte limite:
Informações relevantes fornecidas (ou que podemos usar imediatamente):
- Para todo número real
vale . - Para todo
, .
Não vamos resolver ainda; só deixei claro o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), em palavras simples:
Se existem funções ,
e
tais que, num intervalo ao redor de
(exceto possivelmente em
),
Se existem funções
e se
então também vale
O que isso significa na prática: se uma função fica “espremida” entre duas outras que têm o mesmo limite em
, então essa função também tem esse limite. Aqui
é o ponto para o qual
tende (no nosso caso
),
é o limite comum das funções que fazem as referências, e a desigualdade deve valer para
suficientemente próximo de
.
Passo 3
Aplicando a ideia básica sobre o cosseno: para todo
real
Multiplicando essa desigualdade por
, que é não-negativo para todo
, a ordem das desigualdades é preservada. Obtemos então, para todo
,
Aqui já temos a função que nos interessa,
, “espremida” entre
e
.
Passo 4
Calcular os limites das funções que formam as “bordas” da desigualdade.
Primeiro,
Primeiro,
porque
é um polinômio contínuo e seu valor em
é
. Se preferir uma demonstração
-
: dado
, basta tomar
; se
então
. Logo
.
Analogamente,
Analogamente,
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema do Confronto: como para
próximo de
e ambos os limites das funções extremas são iguais a
,
concluímos que
Em palavras: o fator oscilante
fica entre
e
, e como o fator
tende a zero, o produto fica “espremido” e tende a zero também.
Passo 6
Dica rápida para a prova (ânimo!): sempre que tiver um produto onde uma parte é uma função limitada (como
,
, ou qualquer função com valor absoluto limitado por uma constante) e a outra parte tende a zero, é quase sempre possível usar o Teorema do Confronto para concluir que o produto tende a zero. Exemplo típico:
.