Use o Teorema do Confronto para mostrar que \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos (20 \pi x)=0.

Passo 1

O problema pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 0} x^{2}\cos(20\pi x).
Informações relevantes fornecidas (ou que podemos usar imediatamente):
  • Para todo número real t vale -1 \le \cos t \le 1.
  • Para todo x, x^{2}\ge 0.
    Não vamos resolver ainda; só deixei claro o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), em palavras simples:
Se existem funções f(x), g(x) e h(x) tais que, num intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a),
f(x)\le g(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então também vale
\lim_{x\to a} g(x)=L.
O que isso significa na prática: se uma função fica “espremida” entre duas outras que têm o mesmo limite em a, então essa função também tem esse limite. Aqui a é o ponto para o qual x tende (no nosso caso a=0), L é o limite comum das funções que fazem as referências, e a desigualdade deve valer para x suficientemente próximo de a.

Passo 3

Aplicando a ideia básica sobre o cosseno: para todo x real
-1\le \cos(20\pi x)\le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x^{2}, que é não-negativo para todo x, a ordem das desigualdades é preservada. Obtemos então, para todo x,
-x^{2}\le x^{2}\cos(20\pi x)\le x^{2}.
Aqui já temos a função que nos interessa, g(x)=x^{2}\cos(20\pi x), “espremida” entre f(x)=-x^{2} e h(x)=x^{2}.

Passo 4

Calcular os limites das funções que formam as “bordas” da desigualdade.
Primeiro,
\lim_{x\to 0} x^{2}=0,
porque x^{2} é um polinômio contínuo e seu valor em 0 é 0. Se preferir uma demonstração \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0, basta tomar \delta=\sqrt{\varepsilon}; se |x|<\delta então |x^{2}|<\varepsilon. Logo \lim_{x\to 0} x^{2}=0.
Analogamente,
\lim_{x\to 0} -x^{2} = -\lim_{x\to 0} x^{2} = -0 = 0.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema do Confronto: como para x próximo de 0
-x^{2}\le x^{2}\cos(20\pi x)\le x^{2},
e ambos os limites das funções extremas são iguais a 0,
\lim_{x\to 0} -x^{2} = \lim_{x\to 0} x^{2} = 0,
concluímos que
\lim_{x\to 0} x^{2}\cos(20\pi x)=0.
Em palavras: o fator oscilante \cos(20\pi x) fica entre -1 e 1, e como o fator x^{2} tende a zero, o produto fica “espremido” e tende a zero também.

Passo 6

Dica rápida para a prova (ânimo!): sempre que tiver um produto onde uma parte é uma função limitada (como \cos, \sin, ou qualquer função com valor absoluto limitado por uma constante) e a outra parte tende a zero, é quase sempre possível usar o Teorema do Confronto para concluir que o produto tende a zero. Exemplo típico: \lim_{x\to 0} x\sin(1/x)=0.

Resposta

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