Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
f(x)=\frac{2}{5 x}-\frac{3}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral da função
f(x)=\frac{2}{5x}-\frac{3}{x^{2}}
e conferir a resposta derivando-a. Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f(x) e implicitamente o domínio onde f está definida, isto é, \,x\neq 0.

Passo 2

Primeira manipulação útil: reescrever os termos em formas que facilitam a integração. Vou transformar cada termo em algo do tipo constante vezes uma potência de x ou 1/x.
\frac{2}{5x}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x} \qquad\text{e}\qquad -\frac{3}{x^{2}}=-3x^{-2}.
Isso deixa claro que podemos usar a linearidade da integral (separar soma e fator constante) e as regras para integrar \frac{1}{x} e x^{n}.

Passo 3

Explicando as regras que vamos usar (mini-aula):
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int\big(a\cdot g(x)+b\cdot h(x)\big)\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx, onde a,b são constantes.
  • Regra para \dfrac{1}{x}: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Aqui |x| aparece porque a primitiva deve valer tanto para x>0 quanto para x<0.
  • Regra da potência (caso geral): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso termo x^{-2} temos n=-2, que é diferente de -1, então a regra vale.

Passo 4

Aplicando linearidade e fator constante ao primeiro termo:
\int \frac{2}{5x}\,dx = \frac{2}{5}\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{2}{5}\ln|x| + C_1.
Explanação: extraí a constante \frac{2}{5} e usei a primitiva de \frac{1}{x}.

Passo 5

Agora o segundo termo, usando a regra da potência para x^{-2}:
\int \big(-3x^{-2}\big)\,dx = -3\int x^{-2}\,dx.
Como n=-2, pela fórmula
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}.
Multiplicando por -3 obtemos
-3\cdot(-x^{-1})=3x^{-1}=\frac{3}{x}+C_2.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos (e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante arbitrária C):
F(x)=\frac{2}{5}\ln|x|+\frac{3}{x}+C.
Comentário: a constante de integração é única no resultado final, então usamos apenas C.

Passo 7

Conferência por diferenciação (checar que F'(x)=f(x)). Derivando termo a termo:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{5}\ln|x|\right)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x} para x\neq 0.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{x}\right)=\frac{d}{dx}\!\left(3x^{-1}\right)=3\cdot(-1)x^{-2}=-3x^{-2}=-\frac{3}{x^{2}}.
    Somando:
F'(x)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}=\frac{2}{5x}-\frac{3}{x^{2}}=f(x),
portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

F(x)=\frac{2}{5}\ln|x|+\frac{3}{x}+C

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