Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral da função
e conferir a resposta derivando-a. Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
e implicitamente o domínio onde
está definida, isto é,
.
Passo 2
Primeira manipulação útil: reescrever os termos em formas que facilitam a integração. Vou transformar cada termo em algo do tipo constante vezes uma potência de
ou
.
Isso deixa claro que podemos usar a linearidade da integral (separar soma e fator constante) e as regras para integrar
e
.
Passo 3
Explicando as regras que vamos usar (mini-aula):
- Linearidade da integral:
, onde são constantes. - Regra para
: . Aqui aparece porque a primitiva deve valer tanto para quanto para . - Regra da potência (caso geral): para
,
No nosso termo
temos
, que é diferente de
, então a regra vale.
Passo 4
Aplicando linearidade e fator constante ao primeiro termo:
Explanação: extraí a constante
e usei a primitiva de
.
Passo 5
Agora o segundo termo, usando a regra da potência para
:
Como
, pela fórmula
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos (e juntando as constantes
e
numa única constante arbitrária
):
Comentário: a constante de integração é única no resultado final, então usamos apenas
.
Passo 7
Conferência por diferenciação (checar que
). Derivando termo a termo:
-
para . -
.
Somando:
portanto a primitiva encontrada está correta.