Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral da função
e conferir a resposta derivando-a. Informações dadas e observações úteis:
- A função é dada por
. -
é uma constante (número fixo). -
é a raiz quarta de , que podemos reescrever como . - A primitiva mais geral significa encontrar uma família de funções
tais que , isto é, a solução será determinada até uma constante aditiva . - Observação sobre domínio: a raiz quarta real está definida para
; portanto a integração e verificação fazem sentido em .
Passo 2
Lembrete das regras de integração que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, isto é
Isto permite separar a integral em duas partes.
- Constante factor: uma constante pode sair da integral:
onde
é constante.
- Regra da potência (para integração): se
então
Aqui
é um número real e
é a constante de integração. Essa regra é derivada invertendo a regra da diferenciação
.
Passo 3
Aplicamos a linearidade para separar a primitiva:
Repare que usei a separação em duas integrais usando a propriedade da linearidade.
Passo 4
Calculo da primeira integral (termo constante). Como
é constante, pela regra da constante temos:
Explicando: integrar
dá
, então multiplicando pela constante obtemos
.
Passo 5
Calculo da segunda integral (potência de
). Reescrevemos
como
e aplicamos a regra da potência com
:
Agora fazemos a divisão por fração:
logo
Detalhe: escrevendo passo a passo evita erro de álgebra na prova.
Passo 6
Juntando as duas partes (sem ainda escrever a resposta final nesta seção) temos que uma primitiva é dada pela soma das primitivas parciais encontradas. Para conferir, derivamos cada parcela separadamente para ver se voltamos à função original:
- Derivada de
: como é constante, a derivada é . - Derivada de
: aplicando a regra da potência para derivação com , obtemos
Somando as derivadas das parcelas voltamos exatamente a
, que é a função
. Assim a verificação está feita.