Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
f(x)=\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral da função \!f(x)=\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{x} e conferir a resposta derivando-a. Informações dadas e observações úteis:
  • A função é dada por \!f(x)=\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{x}.
  • \sqrt[4]{5} é uma constante (número fixo).
  • \sqrt[4]{x} é a raiz quarta de x, que podemos reescrever como x^{1/4}.
  • A primitiva mais geral significa encontrar uma família de funções F(x) tais que F'(x)=f(x), isto é, a solução será determinada até uma constante aditiva C.
  • Observação sobre domínio: a raiz quarta real está definida para x\ge 0; portanto a integração e verificação fazem sentido em x\ge 0.

Passo 2

Lembrete das regras de integração que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, isto é
\int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx.
Isto permite separar a integral em duas partes.
  • Constante factor: uma constante pode sair da integral:
\int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx,
onde a é constante.
  • Regra da potência (para integração): se n\neq -1 então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é um número real e C é a constante de integração. Essa regra é derivada invertendo a regra da diferenciação \frac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}.

Passo 3

Aplicamos a linearidade para separar a primitiva:
\int f(x)\,dx = \int \left(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{x}\right)\,dx = \int \sqrt[4]{5}\,dx + \int \sqrt[4]{x}\,dx.
Repare que usei a separação em duas integrais usando a propriedade da linearidade.

Passo 4

Calculo da primeira integral (termo constante). Como \sqrt[4]{5} é constante, pela regra da constante temos:
\int \sqrt[4]{5}\,dx = \sqrt[4]{5}\int dx = \sqrt[4]{5}\,x.
Explicando: integrar 1 x, então multiplicando pela constante obtemos \sqrt[4]{5}\,x.

Passo 5

Calculo da segunda integral (potência de x). Reescrevemos \sqrt[4]{x} como x^{1/4} e aplicamos a regra da potência com n=\tfrac{1}{4}:
\int x^{1/4}\,dx = \frac{x^{1/4+1}}{1/4+1} = \frac{x^{5/4}}{5/4}.
Agora fazemos a divisão por fração:
\frac{1}{5/4}=\frac{4}{5},
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\int x^{1/4}\,dx = \frac{4}{5}\,x^{5/4}.
Detalhe: escrevendo passo a passo evita erro de álgebra na prova.

Passo 6

Juntando as duas partes (sem ainda escrever a resposta final nesta seção) temos que uma primitiva é dada pela soma das primitivas parciais encontradas. Para conferir, derivamos cada parcela separadamente para ver se voltamos à função original:
  • Derivada de \sqrt[4]{5}\,x: como \sqrt[4]{5} é constante, a derivada é \sqrt[4]{5}\cdot \frac{d}{dx}x = \sqrt[4]{5}.
  • Derivada de \frac{4}{5}\,x^{5/4}: aplicando a regra da potência para derivação \frac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1} com m=\tfrac{5}{4}, obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{5}x^{5/4}\right) = \frac{4}{5}\cdot \frac{5}{4}\,x^{5/4-1} = x^{1/4}.
Somando as derivadas das parcelas voltamos exatamente a \sqrt[4]{5}+x^{1/4}, que é a função f(x). Assim a verificação está feita.

Resposta

F(x)=\sqrt[4]{5}\,x+\dfrac{4}{5}\,x^{5/4}+C

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