Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
g(t)=7 e^{t}-e^{3}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a primitiva mais geral da função e que confira a resposta derivando-a. As informações dadas são:
g(t)=7e^{t}-e^{3}.
Ou seja, queremos encontrar uma função G(t) tal que G'(t)=g(t), e depois verificar essa igualdade.

Passo 2

O que é primitiva (antiderivada)? Uma função G(t) é primitiva de g(t) se, para todo t no domínio, vale
G'(t)=g(t).
Uma regra muito útil é a linearidade da integral/antiderivada:
\int\big(a\cdot f(t)+b\cdot h(t)\big)\,dt = a\int f(t)\,dt + b\int h(t)\,dt,
onde a e b são constantes. Isso significa que podemos integrar cada termo separadamente e puxar constantes para fora do integral.

Passo 3

Aplicando a linearidade à nossa função:
\int g(t)\,dt = \int\big(7e^{t}-e^{3}\big)\,dt = \int 7e^{t}\,dt - \int e^{3}\,dt.
Aqui usei que \int (A-B)\,dt=\int A\,dt-\int B\,dt e que a constante 7 pode sair do integral.

Passo 4

Integrando o primeiro termo \int 7e^{t}\,dt.
Sabendo que a derivada de e^{t} é e^{t}, a primitiva de e^{t} é e^{t}. Assim,
\int 7e^{t}\,dt = 7\int e^{t}\,dt = 7e^{t}.
Expliquei: ao integrar e^{t} não aparece nenhum fator extra — ela é sua própria derivada — então a integral é direta.

Passo 5

Integrando o segundo termo \int e^{3}\,dt.
Aqui \,e^{3} é uma constante (porque não depende de t). A integral de uma constante k em relação a t é kt. Logo,
\int e^{3}\,dt = e^{3}\,t.
Portanto, com o sinal que tínhamos:
\int\big(7e^{t}-e^{3}\big)\,dt = 7e^{t} - e^{3}t + C,
onde C é a constante arbitrária de integração (a “constante geral” das primitivas).

Passo 6

Escrevendo a primitiva mais geral encontrada:
G(t)=7e^{t}-e^{3}t+C,
com C constante real arbitrária.

Passo 7

Agora conferimos derivando G(t) para ver se voltamos a g(t). Calculando G'(t):
G'(t)=\frac{d}{dt}\big(7e^{t}\big)-\frac{d}{dt}\big(e^{3}t\big)+\frac{d}{dt}C.
Sabemos que \frac{d}{dt}7e^{t}=7e^{t}, \frac{d}{dt}e^{3}t=e^{3} (porque e^{3} é constante) e \frac{d}{dt}C=0. Então
G'(t)=7e^{t}-e^{3}+0 = 7e^{t}-e^{3},
que é exatamente g(t). Confirmação feita!

Resposta

7e^{t}-e^{3}t+C

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