Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a primitiva mais geral da função e que confira a resposta derivando-a. As informações dadas são:
Ou seja, queremos encontrar uma função
tal que
, e depois verificar essa igualdade.
Passo 2
O que é primitiva (antiderivada)? Uma função
é primitiva de
se, para todo
no domínio, vale
Uma regra muito útil é a linearidade da integral/antiderivada:
onde
e
são constantes. Isso significa que podemos integrar cada termo separadamente e puxar constantes para fora do integral.
Passo 3
Aplicando a linearidade à nossa função:
Aqui usei que
e que a constante
pode sair do integral.
Passo 4
Integrando o primeiro termo
.
Sabendo que a derivada de
é
, a primitiva de
é
. Assim,
Expliquei: ao integrar
não aparece nenhum fator extra — ela é sua própria derivada — então a integral é direta.
Passo 5
Integrando o segundo termo
.
Aqui
é uma constante (porque não depende de
). A integral de uma constante
em relação a
é
. Logo,
Portanto, com o sinal que tínhamos:
onde
é a constante arbitrária de integração (a “constante geral” das primitivas).
Passo 6
Escrevendo a primitiva mais geral encontrada:
com
constante real arbitrária.
Passo 7
Agora conferimos derivando
para ver se voltamos a
. Calculando
:
Sabemos que
,
(porque
é constante) e
. Então
que é exatamente
. Confirmação feita!