Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
g(x)=4 x^{-2 / 3}-2 x^{5 / 3}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral da função g(x)=4x^{-2/3}-2x^{5/3}. O conteúdo é integração de funções do tipo potência, usando a regra
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n\neq -1).

Passo 2

Para a primeira parcela
\int 4x^{-2/3}\,dx
fatoramos a constante:
4\int x^{-2/3}\,dx.
Aplicando a regra com n=-\tfrac23, vem
4\cdot \frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} =4\cdot \frac{x^{1/3}}{1/3} =12\,x^{1/3}.

Passo 3

Para a segunda parcela
\int -2x^{5/3}\,dx
extraímos a constante:
-2\int x^{5/3}\,dx.
Aqui n=\tfrac53, logo
-2\cdot \frac{x^{5/3+1}}{5/3+1} =-2\cdot \frac{x^{8/3}}{8/3} =-\frac{3}{4}\,x^{8/3}.

Passo 4

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x)=12\,x^{1/3}-\frac{3}{4}\,x^{8/3}+C.

Passo 5

Para conferir, derivamos F(x):
F'(x) =12\cdot\tfrac{1}{3}x^{-2/3} -\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}x^{5/3} =4x^{-2/3}-2x^{5/3} =g(x),
confirmando que está correto.

Resposta

F(x)=12\,x^{1/3}-\frac{3}{4}\,x^{8/3}+C.

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