Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
f(\theta)=2 \operatorname{sen} \theta-3 \operatorname{sec} \theta \operatorname{tg} \theta

Passo 1

O enunciado pede a primitiva geral de f(\theta)=2\sin\theta-3\operatorname{sec}\theta\tan\theta. O conteúdo é integração de funções trigonométricas básicas. Vamos usar que \int\sin\theta\,d\theta=-\cos\theta e \int\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta=\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Para a parte \displaystyle\int2\sin\theta\,d\theta, podemos tirar a constante 2 e usar a primitiva de \sin\theta:
\int2\sin\theta\,d\theta =2\int\sin\theta\,d\theta =2(-\cos\theta) =-2\cos\theta.

Passo 3

Para a parte \displaystyle\int(-3)\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, tiramos a constante -3 e usamos a primitiva de \operatorname{sec}\theta\tan\theta:
\int(-3)\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta =-3\int\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta =-3\operatorname{sec}\theta.

Passo 4

Somando as duas primitivas e adicionando a constante C, obtemos
F(\theta)=-2\cos\theta-3\operatorname{sec}\theta+C.
Verificando, derivando:
F'(\theta)=(-2\cos\theta)' +(-3\operatorname{sec}\theta)' =2\sin\theta-3\operatorname{sec}\theta\tan\theta =f(\theta),
que confere.

Resposta

A primitiva mais geral é
F(\theta)=-2\cos\theta-3\operatorname{sec}\theta+C.

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