DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede duas coisas: (1) determinar uma primitiva usando mudança de variável; (2) verificar a primitiva encontrada derivando-a. As informações relevantes: o integrando é
e a operação a fazer é integração seguida de verificação por diferenciação.
Passo 2
Idéia da mudança de variável (explicação didática e leve):
- A técnica de mudança de variável na integral é, na prática, o “método inverso” da regra da cadeia na diferenciação.
- Regra da cadeia (em palavras): se
, então . - Na integração, se vemos um produto do tipo
, a primitiva é onde . Ou seja, identificamos uma parte cujo derivado aparece multiplicando a outra parte. - Exemplo simples para fixar:
. Aqui , ; então porque .
Passo 3
Escolha de substituição e cálculo de
:
- Observe o argumento do seno:
. Tentar a substituição
- Calcular
em função de :
- Note que
aparece exatamente multiplicando o seno no integrando — isso é perfeito para a substituição.
Passo 4
Fazer a mudança de variável na integral e integrar:
- Substituindo
e na integral obtemos
- Agora integrar
. Lembrete: , portanto uma antiderivada de é . Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original:
- Substituindo
de volta, a primitiva encontrada é
Passo 6
Verificação derivando (usar regra da cadeia passo a passo):
- Calcular
. - Primeiro, aplicar a derivada de
com :
- Já sabemos
. Então
- Isso coincide exatamente com o integrando original
. Logo a primitiva está correta.