DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left(3 x^{2}+7\right) \operatorname{sen}\left(x^{3}+7 x\right) d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int\left(3 x^{2}+7\right)\operatorname{sen}\left(x^{3}+7 x\right)\,dx
e pede duas coisas: (1) determinar uma primitiva usando mudança de variável; (2) verificar a primitiva encontrada derivando-a. As informações relevantes: o integrando é \left(3 x^{2}+7\right)\operatorname{sen}\left(x^{3}+7 x\right) e a operação a fazer é integração seguida de verificação por diferenciação.

Passo 2

Idéia da mudança de variável (explicação didática e leve):
  • A técnica de mudança de variável na integral é, na prática, o “método inverso” da regra da cadeia na diferenciação.
  • Regra da cadeia (em palavras): se h(x)=f(g(x)), então h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
  • Na integração, se vemos um produto do tipo g'(x)\,f(g(x)), a primitiva é F(g(x)) onde F'\!=\!f. Ou seja, identificamos uma parte g(x) cujo derivado aparece multiplicando a outra parte.
  • Exemplo simples para fixar: \int 2x\cos(x^2)\,dx. Aqui g(x)=x^2, g'(x)=2x; então \int 2x\cos(x^2)\,dx=\sin(x^2)+C porque \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u.

Passo 3

Escolha de substituição e cálculo de du:
  • Observe o argumento do seno: x^{3}+7x. Tentar a substituição
u = x^{3}+7x.
  • Calcular du em função de dx:
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+7x\bigr)\,dx = \bigl(3x^{2}+7\bigr)\,dx.
  • Note que \bigl(3x^{2}+7\bigr)\,dx aparece exatamente multiplicando o seno no integrando — isso é perfeito para a substituição.

Passo 4

Fazer a mudança de variável na integral e integrar:
  • Substituindo u e du na integral obtemos
\int\left(3 x^{2}+7\right)\operatorname{sen}\left(x^{3}+7 x\right)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,du.
  • Agora integrar \operatorname{sen}(u). Lembrete: \dfrac{d}{du}\cos u = -\sin u, portanto uma antiderivada de \sin u é -\cos u. Assim
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original:
  • Substituindo u = x^{3}+7x de volta, a primitiva encontrada é
-\cos\bigl(x^{3}+7x\bigr) + C.

Passo 6

Verificação derivando (usar regra da cadeia passo a passo):
  • Calcular \dfrac{d}{dx}\bigl[-\cos\bigl(x^{3}+7x\bigr)+C\bigr].
  • Primeiro, aplicar a derivada de -\cos(u) com u=x^{3}+7x:
\frac{d}{dx}\bigl[-\cos(u)\bigr] = -\bigl(-\sin(u)\bigr)\cdot \frac{du}{dx} = \sin(u)\cdot \frac{du}{dx}.
  • Já sabemos \dfrac{du}{dx}=3x^{2}+7. Então
\frac{d}{dx}\bigl[-\cos\bigl(x^{3}+7x\bigr)+C\bigr] = \sin\bigl(x^{3}+7x\bigr)\cdot\bigl(3x^{2}+7\bigr).
  • Isso coincide exatamente com o integrando original \bigl(3x^{2}+7\bigr)\operatorname{sen}\bigl(x^{3}+7x\bigr). Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\cos\bigl(x^{3}+7x\bigr)+C

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