CALCULE A INTEGRAL
\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}+5\right)\,d x.
Informações dadas:
  • Limites de integração: a=0 e b=2.
  • Integrando (função a integrar): f(x)=x^{3}-3x^{2}+5, que é um polinômio.
    O que se pede: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática):
  • Para integrar um polinômio, integramos termo a termo. Isto é, \int (u+v+w)\,dx = \int u\,dx + \int v\,dx + \int w\,dx.
  • Regra básica (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é constante de integração quando a integral é indefinida. Aqui cada termo do polinômio tem a forma x^n (ou multiplicado por constante), então a regra se aplica.
  • Regra da constante: se k é constante,
\int k\,dx = kx + C.
  • Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada): se F é uma primitiva (antiderivada) de f então a integral definida é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Explicando o que é primitiva: F é uma função tal que F'(x)=f(x).

Passo 3

Achar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{3}-3x^{2}+5 integrando termo a termo.
  1. \displaystyle \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} pela regra da potência com n=3: \frac{x^{3+1}}{3+1}=\frac{x^{4}}{4}.
  2. \displaystyle \int -3x^{2}\,dx = -3\int x^{2}\,dx = -3\cdot\frac{x^{3}}{3} = -x^{3}.
    • Aqui usei a linearidade da integral (constante sai) e a regra da potência com n=2.
  3. \displaystyle \int 5\,dx = 5x pela regra da constante.
Somando as primitivas obtidas, uma primitiva F(x) é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+5x.

Passo 4

Avaliar a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3x^{2}+5\right)\,dx = F(2)-F(0),
onde F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-x^{3}+5x.
Calcular F(2):
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-2^{3}+5\cdot 2.
Passo a passo:
2^{4}=16\quad\Rightarrow\quad \frac{2^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4,
-2^{3}=-8,
5\cdot 2 =10.
Somando: 4-8+10.
Calcular F(0):
F(0)=\frac{0^{4}}{4}-0^{3}+5\cdot 0 = 0-0+0 = 0.

Passo 5

Continuando a soma de F(2):
4-8+10 = (4-8)+10 = -4+10 = 6.
Portanto
F(2)-F(0)=6-0=6.

Resposta

6

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