DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
\int x^{-5} \cos \left(x^{-4}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se determinar uma primitiva (uma antiderivada) da função cujo diferencial é dado por \int x^{-5}\cos\!\bigl(x^{-4}\bigr)\,dx.
  • Depois é exigido verificar a primitiva encontrada derivando-a e mostrando que volta ao integrando.
  • Informação dada: o integrando é \,x^{-5}\cos\!\bigl(x^{-4}\bigr)\, e a variável de integração é x.

Passo 2

Por que escolher uma mudança de variável e qual escolher.
  • Observação útil (dica de amigo): quando dentro do argumento de uma função trigonométrica aparece uma expressão como x^{-4} e fora aparece algo parecido com a derivada dessa expressão (aqui aparece x^{-5}), é um sinal clássico para tentar a substituição u= essa expressão interna.
  • Escolhemos a mudança de variável
u = x^{-4}.
  • Agora vamos relacionar du com dx. Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra da cadeia / regra da potência),
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}\bigr) = -4x^{-5}.
  • Isolando dx (ou x^{-5}dx), obtemos
du = -4x^{-5}dx \quad\Rightarrow\quad x^{-5}dx = -\tfrac{1}{4}\,du.

Passo 3

Fazer a substituição no integral e integrar em u.
  • Substituindo u = x^{-4} e x^{-5}dx = -\tfrac{1}{4}du dentro do integral:
\int x^{-5}\cos\!\bigl(x^{-4}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\bigl(-\tfrac{1}{4}du\bigr).
  • Tirando a constante -\tfrac{1}{4} para fora:
= -\tfrac{1}{4}\int \cos(u)\,du.
  • Agora usamos a antiderivada básica: a primitiva de \cos(u) é \sin(u). Logo
- \tfrac{1}{4}\int \cos(u)\,du = -\tfrac{1}{4}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.
  • Voltando para a variável x (substituindo u=x^{-4}):
\text{primitiva} = -\tfrac{1}{4}\sin\!\bigl(x^{-4}\bigr) + C.

Passo 4

Verificação derivando a primitiva encontrada (mostrando que é correta).
  • Seja F(x) = -\tfrac{1}{4}\sin\!\bigl(x^{-4}\bigr) + C. Vamos calcular F'(x).
  • Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \sin\!\bigl(x^{-4}\bigr) é \cos\!\bigl(x^{-4}\bigr) vezes a derivada de x^{-4}, que já calculamos antes como -4x^{-5}. Assim,
\frac{d}{dx}\sin\!\bigl(x^{-4}\bigr) = \cos\!\bigl(x^{-4}\bigr)\cdot(-4x^{-5}).
  • Multiplicando pelo coeficiente -\tfrac{1}{4} de F(x):
F'(x) = -\tfrac{1}{4}\cdot\bigl[\cos\!\bigl(x^{-4}\bigr)\cdot(-4x^{-5})\bigr] + 0.
  • Simplificando os fatores -\tfrac{1}{4} e -4:
F'(x) = \cos\!\bigl(x^{-4}\bigr)\,x^{-5}.
  • Isto é exatamente o integrando original, então a primitiva está verificada.

Resposta

-\tfrac{1}{4}\sin\!\bigl(x^{-4}\bigr) + C

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