DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se determinar uma primitiva (uma antiderivada) da função cujo diferencial é dado por
. - Depois é exigido verificar a primitiva encontrada derivando-a e mostrando que volta ao integrando.
- Informação dada: o integrando é
e a variável de integração é .
Passo 2
Por que escolher uma mudança de variável e qual escolher.
- Observação útil (dica de amigo): quando dentro do argumento de uma função trigonométrica aparece uma expressão como
e fora aparece algo parecido com a derivada dessa expressão (aqui aparece ), é um sinal clássico para tentar a substituição essa expressão interna. - Escolhemos a mudança de variável
- Agora vamos relacionar
com . Diferenciando ambos os lados em relação a (regra da cadeia / regra da potência),
- Isolando
(ou ), obtemos
Passo 3
Fazer a substituição no integral e integrar em
.
- Substituindo
e dentro do integral:
- Tirando a constante
para fora:
- Agora usamos a antiderivada básica: a primitiva de
é . Logo
onde
é a constante de integração.
- Voltando para a variável
(substituindo ):
Passo 4
Verificação derivando a primitiva encontrada (mostrando que é correta).
- Seja
. Vamos calcular . - Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é vezes a derivada de , que já calculamos antes como . Assim,
- Multiplicando pelo coeficiente
de :
- Simplificando os fatores
e :
- Isto é exatamente o integrando original, então a primitiva está verificada.