DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar uma primitiva (uma antiderivada) da função cujo integrando é
e (2) verificar essa primitiva derivando-a. As informações dadas são apenas o integrando
e o fato de que a primitiva deve ser uma função
tal que
.
Passo 2
Relembrando as regras básicas que vamos usar (explicadas com calma):
- Linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais, e constantes saem da integral. Ou seja,
onde
é constante.
- Regra da potência para primitivas (caso mais usado aqui): para um número real
,
Explicando: para encontrar uma primitiva de
aumenta-se o expoente em 1 (ficando
) e divide-se por esse novo expoente.
é uma constante arbitrária porque derivada de constante é zero.
- Para uma constante
,
pois a derivada de
é
.
Agora vamos aplicar isso termo a termo ao polinômio
.
Passo 3
Integrando o primeiro termo
.
- Use linearidade:
. - Use a regra da potência com
:
- Logo,
Passo 4
Integrando o segundo termo
.
- Aplicando as regras:
. - Com
: . - Logo,
Fiz a simplificação
.
Passo 5
Integrando o terceiro termo
.
- Reescrevendo
. Então
- Com
: . - Assim,
Passo 6
Integrando o quarto termo
(constante).
- Pela regra da integral de constante:
Passo 7
Juntando todas as primitivas parciais e acrescentando a constante de integração
:
Isto é a primitiva geral do integrando dado.
Passo 8
Agora verificamos derivando
. Lembrando a regra da potência para derivadas: para
com
real,
. Também a derivada de uma constante é zero e a derivada de
é
.
Calcule termo a termo:
Somando essas derivadas:
que coincide exatamente com o integrando fornecido. Portanto a verificação está correta.