DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[3 x^{4}-2 x^{3}+7 x+3\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar uma primitiva (uma antiderivada) da função cujo integrando é \;3x^{4}-2x^{3}+7x+3\; e (2) verificar essa primitiva derivando-a. As informações dadas são apenas o integrando \;3x^{4}-2x^{3}+7x+3\; e o fato de que a primitiva deve ser uma função F(x) tal que F'(x)=3x^{4}-2x^{3}+7x+3.

Passo 2

Relembrando as regras básicas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais, e constantes saem da integral. Ou seja,
\int\big(a(x)+b(x)\big)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx, \qquad \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,
onde c é constante.
  • Regra da potência para primitivas (caso mais usado aqui): para um número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicando: para encontrar uma primitiva de x^{n} aumenta-se o expoente em 1 (ficando n+1) e divide-se por esse novo expoente. C é uma constante arbitrária porque derivada de constante é zero.
  • Para uma constante k,
\int k\,dx = kx + C,
pois a derivada de kx é k.
Agora vamos aplicar isso termo a termo ao polinômio \;3x^{4}-2x^{3}+7x+3\;.

Passo 3

Integrando o primeiro termo \;3x^{4}\;.
  • Use linearidade: \int 3x^{4}\,dx = 3\int x^{4}\,dx.
  • Use a regra da potência com n=4:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
  • Logo,
\int 3x^{4}\,dx = 3\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{3}{5}x^{5}.

Passo 4

Integrando o segundo termo \;-2x^{3}\;.
  • Aplicando as regras: \int -2x^{3}\,dx = -2\int x^{3}\,dx.
  • Com n=3: \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
  • Logo,
\int -2x^{3}\,dx = -2\cdot\frac{x^{4}}{4}=-\frac{2}{4}x^{4}=-\frac{1}{2}x^{4}.
Fiz a simplificação -\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Integrando o terceiro termo \;7x\;.
  • Reescrevendo 7x = 7x^{1}. Então
\int 7x\,dx = 7\int x^{1}\,dx.
  • Com n=1: \int x^{1}\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
  • Assim,
\int 7x\,dx = 7\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{7}{2}x^{2}.

Passo 6

Integrando o quarto termo \;3\; (constante).
  • Pela regra da integral de constante:
\int 3\,dx = 3x.

Passo 7

Juntando todas as primitivas parciais e acrescentando a constante de integração C:
F(x)=\frac{3}{5}x^{5}-\frac{1}{2}x^{4}+\frac{7}{2}x^{2}+3x + C.
Isto é a primitiva geral do integrando dado.

Passo 8

Agora verificamos derivando F(x). Lembrando a regra da potência para derivadas: para x^{m} com m real, \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}. Também a derivada de uma constante é zero e a derivada de k\cdot f(x) é k\cdot f'(x).
Calcule termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{5}x^{5}\right)=\frac{3}{5}\cdot 5 x^{4}=3x^{4}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2}x^{4}\right)=-\frac{1}{2}\cdot 4 x^{3}=-2x^{3}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{7}{2}x^{2}\right)=\frac{7}{2}\cdot 2 x=7x.
  • \dfrac{d}{dx}\!(3x)=3.
  • \dfrac{d}{dx}\!C=0.
Somando essas derivadas:
\frac{d}{dx}F(x)=3x^{4}-2x^{3}+7x+3,
que coincide exatamente com o integrando fornecido. Portanto a verificação está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}x^{5}-\frac{1}{2}x^{4}+\frac{7}{2}x^{2}+3x+C
\displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{5}x^{5}-\frac{1}{2}x^{4}+\frac{7}{2}x^{2}+3x+C\right)=3x^{4}-2x^{3}+7x+3

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