DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) determinar uma primitiva (antiderivada) da função
isto é, encontrar uma função
tal que
; (ii) verificar essa primitiva derivando-a. Informação dada: a expressão do integrando é a soma (diferença) de duas frações, uma envolvendo
e outra envolvendo
.
Passo 2
Regra que vou usar (linearidade da integral): a integral de uma soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
onde
é constante. Portanto posso separar
Passo 3
Calcular a primeira integral
.
Conhecimento básico (aula rápida): uma antiderivada de
é
, porque a derivada de
é
. Para ver isso rápido fazendo uma pequena demonstração por diferenciação implícita: seja
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Como
, obtemos
.
Aplicando a constante
:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Calcular a segunda integral
(lembrando que no integrando está com sinal negativo).
Conhecimento básico (aula rápida): uma antiderivada de
é
, porque a derivada de
é
. Demonstração curta por diferenciação implícita: seja
. Então
. Diferenciando:
Mas
(escolhendo o sinal positivo para
no ramo principal), logo
.
Aplicando a constante
e o sinal negativo:
portanto
Passo 5
Juntando as duas partes por linearidade (e recolhendo as constantes de integração numa única constante
):
Esta é uma primitiva (antiderivada) do integrando. (A constante
representa
.)
Passo 6
Verificação derivando
. Derivar termo a termo usando as derivadas que já mostramos:
Somando:
que é exatamente o integrando original. Assim a primitiva está verificada.
Passo 7
Dica rápida para a prova (meu jeito amigo de incentivar): memorize as antiderivadas básicas
e pratique separar integrais por linearidade. Se surgir composição (por exemplo
ou
), lembre-se de usar substituição simples
. Força aí — já tá no caminho certo!