DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[\frac{2}{1+x^{2}}-\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar uma primitiva (antiderivada) da função
\frac{2}{1+x^{2}}-\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}},
isto é, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2}{1+x^{2}}-\dfrac{5}{\sqrt{1-x^{2}}}; (ii) verificar essa primitiva derivando-a. Informação dada: a expressão do integrando é a soma (diferença) de duas frações, uma envolvendo 1+x^{2} e outra envolvendo \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 2

Regra que vou usar (linearidade da integral): a integral de uma soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\!\left[a(x)+b(x)\right]dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx, \qquad \int k\cdot a(x)\,dx = k\int a(x)\,dx,
onde k é constante. Portanto posso separar
\int\!\left[\frac{2}{1+x^{2}}-\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]dx = \int\frac{2}{1+x^{2}}\,dx - \int\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Calcular a primeira integral \displaystyle \int\frac{2}{1+x^{2}}\,dx.
Conhecimento básico (aula rápida): uma antiderivada de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x, porque a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}. Para ver isso rápido fazendo uma pequena demonstração por diferenciação implícita: seja y=\arctan x. Então \tan y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\operatorname{sec}^{2}y\cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
Como \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y=1+x^{2}, obtemos \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
Aplicando a constante 2:
\int\frac{2}{1+x^{2}}\,dx = 2\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = 2\arctan x + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Calcular a segunda integral \displaystyle \int\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx (lembrando que no integrando está com sinal negativo).
Conhecimento básico (aula rápida): uma antiderivada de \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} é \arcsin x, porque a derivada de \arcsin x é \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. Demonstração curta por diferenciação implícita: seja y=\arcsin x. Então \sin y = x. Diferenciando:
\cos y\cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Mas \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}} (escolhendo o sinal positivo para y no ramo principal), logo \dfrac{d}{dx}\arcsin x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Aplicando a constante 5 e o sinal negativo:
\int\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = 5\arcsin x + C_{2},
portanto
\int\left(-\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)dx = -5\arcsin x + C_{3}.

Passo 5

Juntando as duas partes por linearidade (e recolhendo as constantes de integração numa única constante C):
F(x)=2\arctan x - 5\arcsin x + C.
Esta é uma primitiva (antiderivada) do integrando. (A constante C representa C_{1}+C_{3}.)

Passo 6

Verificação derivando F(x). Derivar termo a termo usando as derivadas que já mostramos:
\frac{d}{dx}\bigl(2\arctan x\bigr)=2\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{2}{1+x^{2}},
\frac{d}{dx}\bigl(-5\arcsin x\bigr)=-5\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Somando:
F'(x)=\frac{2}{1+x^{2}}-\frac{5}{\sqrt{1-x^{2}}},
que é exatamente o integrando original. Assim a primitiva está verificada.

Passo 7

Dica rápida para a prova (meu jeito amigo de incentivar): memorize as antiderivadas básicas
\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\arctan x,\qquad \int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\arcsin x,
e pratique separar integrais por linearidade. Se surgir composição (por exemplo \dfrac{1}{1+(ax+b)^{2}} ou \dfrac{1}{\sqrt{1-(ax+b)^{2}}}), lembre-se de usar substituição simples u=ax+b. Força aí — já tá no caminho certo!

Resposta

2\arctan x - 5\arcsin x + C

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